Математическая энциклопедия - символ оператора

скалярная или матричная функция, ассоциированная с оператором и обладающая свойствами, в той или иной форме отражающими свойства этого оператора. Обычно считается, что С. о. заданы для операторов, принадлежащих нек-рой алгебре. Тогда, как правило, при сложении операторов их символы складываются, а при умножении перемножаются с точностью до членов, в нек-ром смысле являющихся младшими, но иногда и точно. Бывает, что С. о.это функция со значениями в нек-рой алгебре (в частности, операторной алгебре), более простой, чем исходная.

Обычно символы ассоциируются с операторами, действующими в функциональных пространствах. Тогда одна из типичных ситуаций состоит в том, что если оператор действует на функции от ппеременных (или, более общо, на функции на n-мерном многообразии), то его символ функция от 2ппеременных (или на 2n-мерном многообразии). На основе использования таких С. о. строится теория псевдодифференциалъных операторов. Соответствие между символами и операторами является основой квантования, при к-ром символ является классич. величиной, а сам оператор соответствующей квантовой величиной.

С и м в о л ы о п е р а т о р о в в . Пусть дан полином

где , q = (q1, . . ., qn), p =(p1, ..., р п)муль-тииндексы (т. е., напр., a=(al . . ., an),, aj целые, . Тогда по нему несколькими различными способами можно построить оператор А, действующий на функциях на подставляя вместо qj оператор умножения на одну из координат xj в , а вместо р j оператор = , где , h- произвольная постоянная (играющая роль постоянной Планка). Если при этом менять порядок букв qи р, то получатся разные операторы. Если положить

то a(q, р )наз. qp- символом, или левым символом оператора А. Получаемое таким образом соответствие между левыми символами и операторами является взаимно однозначным соответствием между полиномами и дифференциальными операторами с полиномиальными коэффициентами и может быть распространено на значительно более широкие классы операторов и символов, если воспользоваться формулой

где для n-мерных векторов z=(z1 . . ., zn) и x=(x1, . . ., x п), dy=dy1,... ., dyn, dx=dx1... dxn.

Оператор Ас pq-cи м в о л о м, или правым символом a(q, р )определяется формулой

пли для более общих символов

Более симметричный способ построения оператора по полиному a(q, р )получается, если ввести для некоммутирующих операторов В, С симметризованное произведение формулой

а затем положить

Тогда a(q, р )наз. символом Вейля оператора А. Оператор Аможет быть записан через символ Вейля по формуле

Вторичное квантование приводит к появлению еще двух видов символов операторов на -виковского и антивиковского. А именно, если ввести операторы рождения и операторы уничтожения и записать дифференциальный оператор с полиномиальными коэффициентами в виде

или в виде

то его виковский символ c(q, р )и антивиковский символ a(q, р )задаются соответственно формулами

О формулах, связывающих разные виды символов одного и того же оператора, см. в [1] [4].