Математическая энциклопедия - дифференциал на римановои поверхности

дифференциальная форма на римановой поверхности S, инвариантная относительно конформного преобразования локального униформизирующего параметра z=x+iy. Чаще всего встречаются дифференциалы (д.) первого' порядка это дифференциальные формы размерности 1, линейные относительно дифференциалов каждой из переменных ( х, у), вида

инвариантные относительно замены параметра, с достаточно гладкими коэффициентами р, q,...; д. нулевого порядка это достаточно гладкие комплексные функции f=f(x, у), g=g(x, у),..., инвариантные относительно замены параметра, т. е. функции точки PОS; д. второго порядка имеют вид

Все д. на римановых поверхностях порядков k>2 тождественно равны 0.

Сложение д. на римановых поверхностях одного и того же порядка определяется естественным путем:

оно коммутативно и ассоциативно. Внешнее умножение д. на римановых поверхностях дистрибутивно относительно сложения, обозначается знаком и определяется правилами:

отсюда

Вообще, при внешнем умножении д. порядка кна д. порядка lпри получается д. порядка k+1, а при тождественный нуль. Линейный оператор дифференцирования переводит д. порядка k в д. порядка k+1:

Кроме того,

и всегда dd=0. Для д. на римановых поверхностях важен также линейный оператор звездного сопряжения

При этом

Оператор звездного сопряжения не совпадает с оператором комплексного сопряжения. Последний обозначается чертой: если f=g+ih, то =g-ih, =dx+dy, =dxdy;. далее, Оператор Лапласа A=d*d определен на д. нулевого порядка:

Дифференциал со наз. точным, если существует функция f на Sтакая, что всюду w=df, если w=*df, то со наз. коточным; д. со наз. замкнутым, если dw=0 на S, если d*w=0, то со козамкнутый д. Из точности вытекает замкнутость, но обратное неверно. Пусть с 1, с 2, ...циклы на S.

Интегралы называемые периодами дифференциала со, определяются обычным образом при помощи локальных униформизирующих. Если с 1 и с 2 гомологичны на Sи w замкнутый д., то т. е. периоды замкнутого д. зависят только от класса гомологий. Все периоды точного д. равны нулю. Обратно, замкнутый д. является точным тогда и только тогда, когда все его периоды равны 0.

Функция наз. гармонической на S, если Df=0. Дифференциал наз. гармоническим дифференциалом на S, если со замкнут и козамкнут, dw=d*w=0. Гармонич. д. со является полным дифференциалом гармонич. функции в окрестности каждой точки Если действительные функции и,. на Sсвязаны соотношением du=*du, то они суть сопряженные гармонич. функции, удовлетворяющие условиям Коши Римана. Следовательно, функция является регулярной аналитической, или голоморфной, на S, если *df=-idf. Дифференциал наз. регулярным аналитическим, или голоморфным, дифференциалом на S, если dw=0 и *w=-iw. Голоморфный д. со является полным дифференциалом голоморфной функции в окрестности каждой точки Голоморфный д. со представим локально в виде w=fdz, где dz=dx+idy, а f голоморфная функция от z.

Классы эквивалентности измеримых комплексных дифференциалов на римановой поверхности, для к-рых интеграл конечен, образуют гильбертово пространство L²(S)с обычным сложением, умножением на комплексные скаляры и скалярным произведением

Каждый д. со класса единственным образом представим в виде суммы w=wh+df+*dg, где и wh гармонический д. на римановой поверхности.

Рассмотренные выше гармонические и голоморфные функции или д. класса С ¹ на Sназ. регулярными на S. Пусть в проколотой окрестности Uточки определен д. q, к-рый, напр., гармоничен в U. Тогда говорят, что гармонич. д. со имеет особенность О в Р 0, если разность w-q является регулярным гармонич. д.

Аналогичные определения применяются для гармонич. и аналитич. функций, аналитич. д. и т. п. В частности, в случае аналитического д. w=fdz обычно предполагается, что функция fлибо регулярная аналитическая в окрестности каждой точки либо имеет на Sлишь изолированные особые точки однозначного характера. Аналитич. д. со, имеющий на Sтолько особенности в виде полюсов

наз. мероморфным дифференциалом; при этом п порядок полюса, при n=1 полюс наз. простым, a-1вычет д. со в полюсе Р 0. Мероморфные д. на компактной римановой поверхности Sназ. абелевыми дифференциалами. Гармонич. функции на Sили на нек-рой области имеющие заданные особенности, иногда наз. абелевььми потенциалами.

Интегрирование абелевых д. приводит к абелевым интегралам, исчерпывающим в сущности все интегралы от алгебраич. функций. При изучении аналитич. д. на произвольной, вообще говоря, некомпактной римановой поверхности Sестественное требование сохранения основных черт классич. теории д. на компактных римановых поверхностях приводит к необходимости наложить на рассматриваемые регулярные д. дополнительные конформно инвариантные ограничения, наиболее употребительным из к-рых является условие интегрируемости, напр., аналитич. д. w=fdz с квадратом, т. е. условие конечности интеграла Дирихле:

В теории д. на римановых поверхностях основное значение имеет проблема существования гармонич. и аналитич. д. с заданными особенностями на произвольной римановой поверхности S. С этим вопросом непосредственно связана проблема глобальной униформизации римановых поверхностей, т. к. построение глобальной униформизирующей требует именно умения строить д. с заданными особенностями.

Ниже приведены основные результаты по проблеме существования..

Если на Sсуществует цикл с, не гомологичный нулю, то на Sсуществует всюду регулярный гармонич. д. w с периодоми всюду регулярный аналитич. д. w+i*w. Эти д. не являются точными, и поэтому при их интегрировании нельзя получить однозначных на Sгармонич. или аналитич. функций. На компактной римановой поверхности Sвсякий гармонический и точный д. тождественно равен нулю. Напротив, на некомпактных римановых поверхностях существуют отличные от тождественного нуля всюду регулярные точные гармонические и голоморфные д.