Математическая энциклопедия - интегральное уравнение

численные методы решения,методы нахождения приближенных решений И. у.

Требуется найти решение ф (х)одномерного уравнения Фредгольма 2-го рода

где f(x)непрерывна на [ а, b], Xчисловой параметр, К( х, s )непрерывна на

Пусть lне является собственным значением ядра К( х, s). Тогда уравнение (1) имеет единственное решение j(x), непрерывное на [а, b]. При этих условиях можно указать следующие способы получения приближенного решения.

Первый способ. Пусть аи bконечные. числа. Интеграл в (1) заменяют интегральной суммой по сетке {sj}, j= 0, 1, 2,..., п, а переменной хпридают значения х 1, х 2,. .., х п. Получается система линейных алгебраич. уравнений относительно фу

где Aij=1-l С j К ( х i, xj), С jкоэффициенты квадратурной формулы, по к-рой интеграл в (1) заменен интегральной суммой. Система (2) при достаточно больших пимеет единственное решение {jj }. В качестве приближенного решения уравнения (1) можно брать функцию так как при и последовательность функций jn(x). равномерно сходится на [а, b]к искомому решению уравнения (1), См. [1], [2], [3], [4].

При замене интеграла по квадратурной формуле надо иметь в виду, что чем более точная квадратурная формула используется, тем большую гладкость ядра и решения (а следовательно, и f(x))надо требовать.

В случае, когда промежуток интегрирования (а, b) бесконечный, его заменяют конечным промежутком (a1, b1), пользуясь априорной информацией о поведении искомого решения j(x). при больших значениях | х|. Полученное уравнение решают приближенно описанным способом; либо заменой переменной интегрирования сводят промежуток интегрирования к конечному;

либо применяют квадратурные формулы для бесконечного промежутка.

Второй способ. В уравнении (1) ядро К( х, s )заменяют аппроксимирующим его вырожденным ядром

в к-ром функции {а i (х)}линейно независимы. Получающееся при этом уравнение

имеет решение j(х)вида

в к-ром постоянные

подлежат определению. Подставляя функцию в уравнение (3) и сравнивая коэффициенты при функциях а i (х), получают систему линейных алгебраич. уравнений для С i вида

где

Определив С i из этой системы и подставив их в (4), получают функцию к-рая и принимается за приближенное решение уравнения (1), так как при достаточно хорошей аппроксимации ядра К( х, s )вырожденным ядром решение уравнения (3) произвольно мало отличается от искомого решения j(х). на любом отрезке а если ( а, b)конечный промежуток, то -и на отрезке [ а, b](см. [1], [4]).

Третий способ. В качестве приближенных решений берутся функции j п (х), получаемые методом итераций по формулам

j0(x) = f(x), так как последовательность {j п (х)} равномерно сходится, к искомому решению при если |l|<1/M(b-a), M=sup|K(x, s)|. Сходимость {jn(x)} к точному решению имеет .место и для ядер с интегрируемой особенностью (см. [1]). Оценки погрешностей этих методов содержатся в [1] [7]. В [8] рассматривается вопрос о минимальном числе арифметич. операций, необходимых для того, чтобы получить приближенное значение интеграла с заданной точностью. Решение этой задачи эквивалентно отысканию величины минимальной погрешности приближенного решения задачи при заданном числе арифметич. операций.

Для решения интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода требуется применять специальные методы, так как эти задачи являются некорректно поставленными. Если в уравнении (1) lсовпадает с одним из собственных значений ядра К( х, s), то в этих условиях задача нахождения решения уравнения (1) является некорректно поставленной и требует применения специальных методов (см. Некорректные задачи).

Нелинейные И. у. 2-го рода приближенно решают обычно методом итераций (см. [3]).

Для получения приближенных решений как линейных, так и нелинейных И. у. применяют также Галеркина метод.

Аналогичные методы можно применять и для получения приближенных решений многомерных интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода. Однако численная реализация их сложнее. О кубатурных формулах приближенного вычисления кратных интегралов и оценках их погрешностей см. [5] [10]. В [10] рассмотрен метод Монте-Карло приближенного вычисления кратных интегралов.

Лит.:[1] Петровский И. Г., Лекции по теории интегральных уравнений, 3 изд., М., 1965; [2] . Бахвалов Н. С, Численные методы, 2 изд., М., 1975; [3] Березин И. С, Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1, 1966; [4] Канторович Л. В., Крылов В. II., Приближенные методы высшего анализа, 5 изд., М.Л., 1962; [5] Мысовских И. П., "Сиб. матем. ж.", 1964, т. 5, № 3, с. 721-23; [6] его же, "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1972, т. 12, №. 2; [7] его же, там же, 1975, т. 15, ,№ 6; [8] Емельянов К. В., Ильин А. М., "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1967, т. 7, № 4, с. 905-10; [9] Соболев С. Л., Введение в теорию кубатурных формул, М., 1974; [10] Соболь И. М., Многомерные кубатурные формулы и функции Хаара, М., 1969.

В. Я. Арсенин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985