Математическая энциклопедия - интегральное уравнение типа свертки

интегральное уравнение, содержащее искомую функцию под знаком интегрального преобразования свертки (см. Интегральный оператор). Особенностью И. у. т. с. является то, что ядра таких уравнений зависят от разности аргументов. Простейший пример уравнение

где k и fзаданные функции, а j искомая функция. Пусть k: и и решение ищется в том же классе. Для разрешимости уравнения (1) необходимо и достаточно выполнение условия

где К - преобразование Фурье функции k. При выполнении условия (2) уравнение (1) в классе L1 имеет единственное решение, представимое формулой

где однозначно определяется с помощью своего преобразования Фурье

Уравнения типа свертки на полупрямой ( Винера- Хопфа уравнение)

возникает при исследовании различных вопросов как теоретического, так и прикладного характера (см. [1], [4]).

Пусть правая часть f и искомая функция а ядро и

Функцию a(l)наз. символом уравнения (4). Индексом уравнения (4) называется число

Если х= 0,функции К +, К -, определенные из равенств:

являются преобразовалиями Фурье, соответственно, функций таких, что k+(t) = k-(-t) = 0 при t<0. При указанных выше условиях уравнение (4) имеет единственное решение, которое представляется формулой

где

Если x<0, то все решения уравнения (4) даются формулой

где с k произвольные постоянные,

а функции однозначно определяются с помощью своих преобразований Фурье:

Однородное уравнение, соответствующее (4), имеет при х<0 ровно |х| линейно независимых решений j1,..., j|x|, являющихся абсолютно непрерывными функциями на любом конечном интервале, причем эти решения можно подобрать так, что jk+1(t) = j'k(t), jk(0) = 0 при k=1,..., |х| 1 и

Если х>0, то уравнение разрешимо лишь при соблюдении условий:

где y1, ..., yxсистема линейно независимых решений транспонированного к (4) однородного уравнения

При соблюдении этих условий решение (единственное) дается формулой

где

а преобразование Фурье K-⁽⁰⁾ (X)и функций и определяется равенством

и равенствами (11). Для уравнения (4) справедливы теоремы Нётера (см. Сингулярное интегральное уравнение).

Первые значительные результаты по теории уравнений (4) были получены в [11], где указан эффективный метод (так наз. метод Винера Хопфа) решения однородного уравнения, соответствующего (4), в предположении, что ядро и искомое решение удовлетворяют условиям: при некоторых 0<a<а и

Основным моментом в методе Винера-Хопфа является идея факторизации функции h(X), голоморфной в полосе |Iml|<а, то есть идея о возможности ее представления в виде произведения h-(k)h+(k), где h-, h+некоторые голоморфные функции соответственно в полуплоскостях Iml,<а и Iml>-a, удовлетворяющие нек-рым дополнительным требованиям. Эти результаты были развиты и дополнены (см. [4]).