Математическая энциклопедия - канторовича процесс

итерационный метод уточнения значения корня нелинейного функционального (операторного) уравнения (обобщение метода Ньютона). Для уравнения Р(х)=0, где Рнелинейная операция, действующая из одного банахова пространства в другое, вычислительная формула метода имеет следующий вид

(здесь Р' - производная Фреше). Иногда используется модифицированный процесс, определяемый формулой

Пусть операция Рдважды непрерывно дифференцируема и выполняются условия (см. [2]):

Тогда уравнение Р(х)=0 имеет решение х* такое, что

К этому решению сходятся последовательности х п и причем

и в случае h <1/2

К. п. всегда сходится к корню х* уравнения Р(х)=0, если только Рдостаточно гладкая, существует [ Р'(x*)]^-1 и начальное приближение х 0 избрано достаточно близким к х*. Если существует непрерывная Р" (х), то сходимость основного процесса квадратическая. Модифицированный процесс сходится с быстротой убывающей геометрич. прогрессии; знаменатель этой прогрессии стремится к нулю, когда

К. п. предложен Л. В. Канторовичем [1].

Лит.:[1] Канторович Л. В., "Докл. АН СССР", 1948, т. 59, №6, с. 1237-40; [2] Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ в нормированных пространствах, М., 1959: [4] Красносельский М. А. и др., Приближенное решение операторных уравнений, М., 1969; [4] Коллатц Л., Функциональный анализ и вычислительная математика, пер. с нем., М., 1969.

И. К. Даугаеет.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985