Математическая энциклопедия - канторово многообразие

га-мерный бикомпакт X,dim X=n, в к-ром любая перегородка В между непустыми множествами имеет размерность Эквивалентное определение: re-мерное К. м. есть n-мерный бикомпакт X, обладающий тем свойством, что при всяком представлении его в виде суммы двух непустых и отличных от всего пространства Xзамкнутых множеств X1 и Х 2 пересечение имеет размерность dim (X1 Х 2)n-1. Одномерные метризуемые К. м. суть одномерные континуумы, или канторовы кривые.

Понятие К. м. было введено П. С. Урысоном (см. [1]). и-мерный замкнутый шар и, значит, га-мерное замкнутое многообразие являются К. м.; га-мерное евклидово пространство нельзя разбить множеством размерности (при n = 3 теорема Урысон а, при n>3-теорема Александрова), (n-1)-мерным К. м. является совместная граница двух областей га-мерного евклидова пространства, одна из к-рых ограничена (теорема Александрова). Основной факт теории К. м.: всякий га-мерный бикомпакт содержит re-мерное канторово подмногообразие (теорема Александрова).

Всякое лежащее в га-мерном бикомпакте Xмаксимальное n-мерное К. м. наз. размерностной компонентой бикомпакта X. Всякое n-мерное канторово подмногообразие бикомпакта Xлежит в единственной размерностной компоненте X. Пересечение двух различных размерностных компонент п-мерного бикомпакта Xимеет размерность В частности, размерностные компоненты одномерного бикомпакта суть его компоненты. Множество размерностных компонент конечномерного компакта конечно, счетно или имеет мощность континуума. Справедливо неравенство: где Апроизвольная размерностная компонента совершенно нормального бикомпакта X, а Вобъединение всех остальных размерностных компонент (теорема Александрова). В наследственно нормальном бикомпакте с 1-й аксиомой счетности размерностная компонента может содержаться в сумме остальных размерностных компонент.

Объединение KX всех размерностных компонент n-мерного бикомпакта Xназ. его внутренним размерностным ядром. Ввиду монотонности размерности в совершенно нормальном бикомпакте Xвсегда dim KX=dim X и

Множество не содержит никакого га-мерного бикомпакта. Но даже для компактов неизвестно (1978), может ли Что касается наследственно нормальных бикомпактов, то в них внутреннее размерностное ядро и его дополнение могут иметь все допустимые размерности, а именно, в предположении континуум-гипотезы, для всякой тройки целых чисел га, п 1 и n2 с и существует такой наследственно нормальный га-мерный бикомпакт X, что dim KX=n1 и

Если dim Z = ind X, то где NX (определенное по Урысону) индуктивное размерностное ядро, т. е. множество всех точек в к-рых indXX=n. Индуктивное размерностное ядро NX компакта Xвсегда имеет тип Fs. Неизвестно, так ли обстоит дело с внутренним размерностным ядром компакта. Что касается бикомпактов,-" то в них ни индуктивное, ни внутреннее размерностные ядра не обязаны иметь тип Fs. Для всякой точки

где Xкомпакт (теорема Менгера). Поэтому для произвольного компакта Xего внутреннее размерностное ядро К X всюду плотно в индуктивном размерностном ядре NX. На бикомпакты это утверждение уже не переносится. Нерешенным остается вопрос (1978), всякая ли точка содержится в индуктивном размерностном ядре вместе с нек-рым невырожденным континуумом.

Конечномерный континуум X, внутреннее размерностное ядро К X к-рого всюду плотно в X, наз. обобщенным канторов ым многообразием. Совместная граница двух открытых подмножеств n-мерного евклидова пространства является (n-1)-мерным обобщенным К. м. В метризуемом га-мерном обобщенном К. м. Xможет быть всюду плотно множество тех точек х, в к-рых indxX<n. Ни произведения, ни непрерывные отображения не сохраняют свойство быть обобщенными К. м., равно как и свойство быть К. м.

Бикомпакт Xназ. бесконечномерным канторовым многообразием, если его нельзя разбить никаким способом слабо бесконечномерным замкнутым подмножеством. Во всяком бесконечномерном бикомпакте содержится бесконечномерное К. м.

Лит.:[1] Урысон П. С, Тр. по топологии и другим областям математики, т. 1, М.Л., 1951; [2] Александров П. С, "Ann. Math.", 1929, v. 30, p. 101-87; [3] его же, "Рrос. Roy. Soc. London. Ser. A", 1947, v. 189, p. 11-39; [4] Александров П. С, Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности ..., М., 1973; [5] Федорчук В. В., "Докл. АН СССР", 1974, т. 215, № 2, с. 289-92; [6] Меngеr К., Dlmensionstheorie, bpz.-В., 1928; [7] Скляренко Е. Г., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1959, т. 23, № 2, с. 197 212.

В. В. Федорчук.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985