Математическая энциклопедия - канал связи квантовый

система передачи (преобразования) информации, использующая в качестве носителя сообщений квантово-механич. объект.

В отличие от классического сообщения, описываемого распределением вероятностей на пространстве сигналов X, квантовое сообщение представляется оператором плотности (состоянием) в гильбертовом пространстве Н, соответствующем данному квантово-механич. объекту. Всякий канал связи можно рассматривать как аффинное (сохраняющее выпуклые комбинации) отображение (выпуклого) множества сообщений на входе в множество сообщений на выходе. В частности, квантовое кодирований есть аффинное отображение Смнржества S(X)распределений вероятностей на пространстве входных сигналов Xв е(H), множество всех операторов плотности в Н. Собственно К. с. к. есть аффинное отображение Lиз е(Н). в е(H'), где Н, Н' - гильбертовы пространства, описывающие соответственно вход и выход канала. Квантовое декодирование есть аффинное отображение Dиз е(H') в S(Y), где Yпространство сигналов на выходе. Передача сообщений, как и в классической теории информации, описывается схемой

Важной задачей является нахождение оптимального способа передачи сообщения по заданному квантовому каналу L. При фиксированном Lусловное распределение сигнала на выходе относительно сигнала на входе является функцией Pc,D(dy|x )кодирования С и декодирования D. Задается некоторый функционал Q{PC, D(dy|x)}и требуется найти экстремум этого функционала по Си D. Наиболее изучен случай, когда Стакже фиксированно и нужно найти оптимальное D. Тогда схема (1) сводится к более простой:

Чтобы задать кодирование, достаточно указать образы r х распределений, сосредоточенных в точках Декодирование удобно описывать Y-измерением, к-рое определяется как мера М(dy )на Yсо значениями в множестве неотрицательных эрмитовых операторов в Н, причем M(Y)равно единичному оператору. Взаимно однозначное соответствие между декодированием и измерениями задается формулой

так что условное распределение сигнала на выходе схемы (2) относительно сигнала на входе есть

Р(dy|x) = TrrxM(dy).

В случае конечных X, Y для оптимальности измерения {М (у)}необходимо, чтобы оператор

где

был эрмитов и удовлетворял условию

Если Qаффинная функция (как в случае бейесовского риска), то для оптимальности (в смысле минимума (?) необходимо и достаточно, чтобы оператор кроме (3), удовлетворял условию Аналогичные условия имеют место для достаточно произвольных X, У.

Существует параллель между квантовыми измерениями и решающими процедурами в классической теории статистич. решений, причем детерминированным процедурам соответствуют простые измерения, определяемые проекторнозначными мерами M(dy). Однако, в отличие от классич. статистики, где оптимальная процедура, как правило, сводится к детерминированной, в квантовом случае уже для бейесовской задачи с конечным числом решений оптимальное измерение, вообще говоря, не может быть выбрано простым. Геометрически это объясняется тем, что оптимум достигается на крайних точках выпуклого множества всех измерений, а в квантовом случае класс простых измерений содержится в множестве крайних точек, не совпадая с ним.

Как и в классич. теории статистич. решений, возможно ограничение класса измерений требованиями инвариантности или несмещенности. Известны квантовые аналоги неравенства Рао Крамера, дающие нижнюю границу для среднеквадратичной погрешности измерения. В приложениях теории много внимания уделяется бозонным гауссовским каналам связи, для к-рых в ряде случаев дано явное описание оптимальных измерений.

Лит.:[1] Helstrom С. W., Quantum detectiv and estimation theory, N. Y., 1976; [2] Xолево А. С, Исследования по общей теории статистических решений, М , 1976; [3] его же, "Repts Math. Phys.", 1977, v. 12, p. 273-78.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985