Математическая энциклопедия - контактные задачи теории теплопроводности

задачи распространения тепла (стационарные и нестационарные для эллиптич. и параболич. уравнений соответственно) в случае, когда вещество является термически неоднородным состоит из нескольких частей с различными коэффициентами теплопроводности к, теплоемкости си плотности р. Входящие в дифференциальное уравнение коэффициенты к, с, р, имеют разрывы 1-го рода, что приводит к задачам со слабыми разрывами решений непрерывнойтемпературой Тп разрывными ее производными. Однако поток тепла wзадается непрерывным.

Пусть, напр., имеется одномерное по x, 0<x<l, уравнение теплопроводности

(1)

и пусть в точке 0<х=х ⁰<1 функции k(х), с (х),r(х). имеют разрыв 1-го рода [k]=k( х ⁰ + 0) k( х ⁰ -0) неравно 0,[сr] неравно 0. Тогда в точке х=х ⁰ должны выполняться условия (см. [1], [2]) непрерывности температуры Т и потока w=-k(х) дТ/дх (условия сопряжения)

В других точках отрезка температура Т( х, t )должна удовлетворять уравнению (1) при t>0, начальным условиям при t=0, а также граничным условиям при х=0,x=l, t>0.

В многомерном случае для параболич. уравнения

на поверхности Г ⁰ разрыва коэффициентов также ставятся условия (2) непрерывности функции Ти потока

где п ⁰нормаль к поверхности Г ⁰ (см. [3], [4]).

В стационарном случае (dT/dt=0 )условия (1) на разрыве сохраняются. Иногда ставятся более общие условия сопряжения (см. [2], [4]). Так, в одномерном случае рассматриваются условия

К К. з. т. т. относится также задача о распределении тепла в средах, агрегатное состояние к-рых может меняться при определенном значении температуры Т* (температуры фазового перехода) с выделением или поглощением теплоты фазового перехода X(задача Стефана [5]). На искомой границе x=x°(t)раздела фаз в одномерном случае ставятся условия

Имеется большое число контактных задач для системы уравнений теплопроводности и газовой динамики, магнитной гидродинамики.

Лит.:[1] Самарский А. А., "Докл. АН СССР", 1958, т. 121, № 2, с. 225-28; [2] Камынин Л. И., "Сиб. матем. ж.", 1963, т. 4, №5, с. 1071 1105; [3] Олейник О. А., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1961, т. 25, № 1, с. 3-20; [4] Камынин Л. И., "Дифференциальные уравнения", 1967, т. 3, № 6, с. 948-964; [5] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1972; [6] Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н., Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, М., 1967.

И.