Математическая энциклопедия - квадратичных форм приведение

выделение в каждом классе квадратичных форм (к. ф.)над данным кольцом Rприведенных форм "стандартных" форм класса (одной или нескольких). Основной целью К. ф. п. является решение проблемы эквивалентности к. ф.: установить, эквивалентны над Rданные к. ф. qи rпли нет, и в случае их эквивалентности найти (описать) все обратимые матрицы Uнад R, переводящие qв r(см. Квадратичная форма). Для решения последней задачи достаточно знать одну такую матрицу U0 и все автоморфизмы Vформы q, ибо тогда U= VU0. Обычно имеется в виду эквивалентность к. ф. над Z, причем часто рассматривается вся совокупность к. ф. над R и их классы над Z. Имеются принципиальные различия в теории приведения положительных (положительно определенных) и неопределенных к. ф.

Приведение положительных к. ф. Имеются различные способы приведения над Zдействительных положительных к. ф. Из них наиболее распространенный и изученный способ приведения по Минковскому (или по Эрмнту Минковскому), наиболее общий по Венкову. Распространено также приведение по Зелингу (n=3) и по Шарву (n=4).

Определить приведенную к. ф.

значит задать в конусе положительности B пространства коэффициентов R^N, N=n(n+1)/2, область приведения так, чтобы q(х)была приведенной тогда и только тогда, когда Желательно, чтобы обладала хорошими геометрич. свойствами (была односвязной, выпуклой и т. п.) и была фундаментальной областью группы Г целочисленных подстановок определителя Область наз. фундаментальной областью приведения положительных к. ф., если F- открытая область в R^N и: 1) для всякой к. ф. найдется эквивалентная к. ф. А q(Z), для к-рой 2) если и то h1 = h2.

а) Приведение к. ф. по Минковскому. Положительная к. ф. q(x)приведена по Минковскому, если для любого k=1,... , пилюбых целых чисел l1 ... , ln с условием н. о. д. (lk,..., ln)=1,

Из бесконечного числа неравенств (1) для коэффициентов bij можно выбирать конечное число так, что остальные неравенства из них следуют. В пространстве коэффициентов R^N множество приведенных по Минковскому форм образует бесконечную выпуклую пирамиду (гоноэдр) с конечным числом граней, наз. областью приведения Минковского (или гоноэдром Эрмита Минковского) -замкнутое множество, Для вычислены грани области (Sn (см. [9]).

Существует такая постоянная ln, что если к. ф. q(x)приведена по Минковскому, то

где d(q)=det||bij||определитель к. ф. q(x).

Всякая действительная положительная к. ф. эквивалентна над Zприведенной по Минковскому к. ф. Имеется алгоритм приведения (отыскания приведенной формы, эквивалентной данной) (см. [8], [15]).

Для n=2, q=q(x, у) -( а, b, с)=ах ²+2bху+су ², а, b, a>0, d(q)>0 условия приведения имеют вид

Если ограничиться собственной эквивалентностью (когда допускаются целочисленные преобразования только определителя +1), то область приведения имеет вид (условия приведения Лагранжа Гаусса). Множество всех неэквивалентных (собственно) приведенных к. ф. записывается как объединение где

Для п=2 имеется алгоритм приведения Гаусса, согласно к-рому от формы, не удовлетворяющей условиям Лагранжа Гаусса, следует перейти к ее "соседней":

где целое число квыбирается так, что |b'|< с/2. Для любой действительной к. ф. (a, b, с) алгоритм обрывается через конечное число шагов.

Если q=(a, b, с),н.