Математическая энциклопедия - квадратичный закон взаимности

соотношение

связывающее Лежандра символыи для различных нечетных простых чисел ри q. Имеются два дополнения к указанному квадратичному закону взаимности, а именно:

и

К. Гаусс (С. Gauss) дал первое полное доказательство К. з. в., в связи с чем К. з. в. наз. также Гаусса законом езаимности.

Из К. з. в. непосредственно следует, что при заданном целом d, не делящемся на квадрат целого числа, простые р, для к-рых dявляется квадратичным вычетом по модулю р, лежат в нескольких арифметич. прогрессиях с разностью 2|d| или 4|d|. Число этих прогрессий равно или где j(n) Эйлера функ ция. К. з. в. дает возможность установить законы разложения в квадратичном расширении поля рациональных чисел, поскольку в разложение простого числа р, не делящего d, на простые дивизоры зависит от того, приводим или нет многочлен х ²-d по модулю р.

Лит.:[1] Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972; [2] Боревич 3. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972.

С. А. Степанов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985