Математическая энциклопедия - ли алгебра

лиева алгебра,унитарный k-модуль Lнад коммутативным кольцом k с единицей, к-рый снабжен билинейным отображением прямого произведения в L, обладающим следующими двумя свойствами:

1) [ х, х] = 0 (откуда вытекает антикоммутативность

2) ( х,[ у, z]]+[ у,[z, х}] +[z,[ х, у]] = 0 (тождество Якоби).

Таким образом, Ли а. является алгеброй над k(не обязательно ассоциативной); обычным образом определяются понятия подалгебры, идеала, факторалгебры и гомоморфизма алгебр Ли. Ли a. Lназ. коммутативной, если [ х, у] = 0 для всех х,

Наиболее важным является случай, когда k - поле (в особенности .. или ), a L - векторное пространство (вообще говоря, бесконечномерное) над k.

Ли а. появились в математике в кон. 19 в. в связи с изучением Ли групп (см. также Ли локальная группа, Ли группа преобразований, Ли теорема), а в неявной форме несколько раньше в механике. Общей предпосылкой возникновения этого понятия было понятие "инфинитезимального преобразования", восходящее по меньшей мере ко времени возникновения исчисления бесконечно малых. Замкнутость интегралов класса С 2 уравнения Гамильтона относительно скобок Пуассона, удовлетворяющих тождеству Якоби, одно из самых ранних замечаний, выраженное, собственно, на языке Ли а. (см. [8], [10]). Сам термин "Ли а." был введен Г. Вейлем (Н. Weyl) в 1934 (до этого времени использовались термины "инфинитезимальные преобразования рассматриваемой группы", или "инфинитезимальная группа"). С течением времени роль Ли а. возрастала пропорционально месту, занимаемому группами Ли в математике (особенно в геометрии), а также в классической и квантовой механике. Этим в первую очередь объясняется особое место Ли а. среди многих других многообразий универсальных алгебр. В наше время аппарат Ли а. воспринимается уже не только как полезное и мощное средство линеаризации теоретико-групповых задач (будь то в теории групп Ли или в значительной мере поглотившей ее и чрезвычайно разросшейся теории алгебраических групп, или же в стоящей несколько особняком теории конечных групп);это также источник красивых и трудных задач линейной алгебры.

Имеется несколько естественных источников, доставляющих важнейшие примеры Ли а.

1) В рамках общей алгебры значение Ли а. определяется прежде всего тем, что множество Dеr(A) всех дифференцирований любой k-алгебры является Ли а. с операцией

Дифференцирования Ли a. Lвида

наз. внутренними дифференцирования м и, или присоединенными эндоморфизмам и. Они образуют в Der(L) подалгебру ad L, а отображение является гомоморфизмом Ли а. (присоединенное представление Ли a. L);его образ ad Lизоморфен фактор-алгебре алгебры Lпо ее центру

2) Еще один существенный источник Ли а. связан со следующим простым наблюдением. Если L - ассоциативная алгебра над kс умножением то умножение в k-модуле L, задаваемое правилом

наделяет Lструктурой Ли а. над k. Говорят, что (L,[ ,]) Ли а., ассоциированная с ассоциативной алгеброй (L, Х). Так, классич. пример Ли a. (L,[ ,]) получится, если в качестве (L, Х).взять (ассоциативную) алгебру Mn(k).всех квадратных матриц порядка га над k.

Следующие четыре бесконечные серии подалгебр в Ли а. указанного типа наз. классическими (kполе нулевой характеристики):

При этом

Если, кроме того, поле kалгебраически замкнуто, то эти Ли а. замечательны тем, что ими и еще пятью Ли особыми алгебрами G2, F4, E6, Е 7, E8 размерностей 14, 52, 78, 133 и 248 соответственно исчерпываются, с точностью до изоморфизма, все простые (т. е. некоммутативные и не содержащие идеалов, отличных от 0 и самой алгебры) конечномерные Ли а. над k.

3) Еще один источник Ли а.векторные поля на многообразии (см. [13], [14]). Пусть F - кольцо гладких функций на -гладком многообразии М. Векторное пространство Vect(M) всех -гладких векторных полей на Мобразует Ли а. относительно операции коммутирования (см. Ли скобка), играющую важную роль в теории многообразий; Ли a. Vect(M) совпадает с Ли a. Der(F). Эта алгебра, вообще говоря, бесконечномерна. Если М - группа Ли, то подпространство в Vect (М), состоящее из всех левоинвариантных векторных полей, является конечномерной подалгеброй и наз. алгеброй Ли группы Ли М;она играет важную роль в теории групп Ли, позволяя переформулировать многие свойства групп Ли в терминах Ли а. См. также Ли алгебра алгебраической группы, Ли алгебра аналитической группы.

Если в приведенном выше примере заменить кольцо Fна коммутативную алгебру формальных степенных рядов над полем k, то вместо Vect(M) получается Ли a. Wn формальных векторных полей, состоящая из дифференциальных операторов

Подалгебры состоящие из дифференцирований, аннулирующих соответственно внешние дифференциальные формы

а также подалгебра дифференцирований, умножающих форму

на элементы из вместе с алгеброй составляют важный класс простых бесконечномерных Ли а. (алгебры Ли к а р т а н о в с к о г о типа). Алгебра Wn наз. общей, Sn - специальной, Н п - г а м и л ь т о н о в о й, Kn -контактной. Эти алгебры встречались еще у С. Ли (S. Lie) при изучении псевдогрупп преобразований ( или ), а затем исследовались по разным поводам Э. Картаном (Е. Cartan) и др. (см. [15], [17], [18], [19]).

4) Следующая общая конструкция позволяет строить -алгебру Ли Lпо любой группе G;она находит применение в теории групп (см. Бёрнсайда проблема,[16]). Пусть

нижний центральный ряд группы G. Тогда L - это прямая сумма аддитивно записанных факторгрупп причем, по определению, произведение элементов есть элемент из Gi+j/Gi+j-1, являющийся классом коммутатора элементов представляющих соответственно хи у. На произвольные элементы из Lэта операция распространяется по дистрибутивности. Имеются (см. [16]) нек-рые обобщения этой конструкции.

Строение алгебр Ли. Одним из общих результатов, показывающих, в частности, что конструкция 2) имеет в известном смысле универсальный характер, является Биркгофа Витта теорема, согласно к-рой для любой Ли a. Lнад полем kсуществует такая ассоциативная k-алгебра U, что Lизоморфно вкладывается в Ли a. (U,[ ,]), ассоциированную с U. Если при этом Lконечномерна, то можно считать, что и Uконечномерна (см. Универсальная обертывающая алгебра).