Математическая энциклопедия - максимального правдоподобия метод

один из основных общих методов построения оценок неизвестного параметра в статистич. теории оценивания.

Пусть по наблюдению Xс распределением зависящим от неизвестного параметра ___ оценивается Предполагая, что все меры абсолютно непрерывны относительно общей меры v, определяют функцию правдоподобия равенством

М. п. м. рекомендует принять в качестве оценки для статистику определяемую соотношением

Оценка наз. оценкой максимального (или наибольшего) правдоподобия (о. м. п.). В широком классе случаев о. м. п. является решением уравнений правдоподобия

Пример 1. Пусть Х=( Х 1, ..., Х n).последовательность независимых случайных величин (наблюдений) с общим распределением Если существует плотность

относительно нек-рой меры т, то

и уравнения (1) имеют вид

Пример 2. Пусть в условиях 1-го примера есть нормальное распределение с плотностью

где

Уравнения

(2) принимают вид

о. м. п. выражается равенствами:

П р и м е р 3. В условиях 1-го примера Xj принимают значения 0 и 1 с вероятностями соответственно Тогда

а о. м. п.

Пример 4. Пусть наблюдение X=Xt есть диффузионный процесс со стохастическим дифференциалом

где wtвинеровский процесс, а неизвестный одномерный параметр. Здесь (см. [3])

В основе М. п. м. не лежат никакие четко выраженные соображения оптимальности, и широко распространенная вера в его хорошие качества основана отчасти на большом успехе, с к-рым М. п. м. применялся к многочисленным конкретным задачам, отчасти на строго установленных асимптотически оптимальных свойствах. Напр., в ситуации 1-го примера в широких предположениях с -вероятностью 1. Если существует информационное количество Фишера

то разность асимптотически нормальна с параметрами и имеет в определенном смысле асимптотически минимальный средний квадрат уклонения от в (см. [4]).

Лит.:[1] К р а м е р Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [2] 3 а к с Ш., Теория статистических выводов, пер. с англ., М., 1975; [3] Л и п ц е р Р. Ш., Ширяев А. И., Статистика случайных процессов, М., 1974; [4] Ибрагимов И. А., Хасьминский Р. 3., Асимптотическая теория оценивания, М., 1979. И. А. Ибрагимов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985