Математическая энциклопедия - максимума модуля принцип

теорема, выражающая одно из основных свойств модуля аналитич. функции. Пусть f(z) регулярная аналитическая, или голоморфная, функция пкомплексных переменных в области Dкомплексного числового пространства отличная от константы, М. м. п. в локальной форме утверждает, что ни в какой точке не может достигаться локальный максимум модуля f(z), т. е. не существует окрестности, V(z⁰) точки z°, в к-рой выполняется неравенство , Если, кроме того, то z⁰ не может быть и точкой локального минимума модуля f(z). Равносильная формулировка М. м. п. в глобальной форме состоит в том, что при тех же условиях модуль аналитич. функции f(z) не может ..достигать своей верхней грани

ни в какой точке Следовательно, если f(z) непрерывна в конечной замкнутой области D, то наибольшее значение Мдостигается только в граничных точках области D. Приведенные формулировки М. м. п. сохраняют силу и в том случае, если f(z) голоморфная функция на связном комплексном (аналитическом) многообразии, в частности на римановой поверхности или на римановой области D.

М. м. п. допускает обобщения в различных направлениях. Во-первых, вместо голоморфности f(z) достаточно предположить только, что f(z)=u(z)+iv(z) - (комплексная) гармоническая функция. Другое обобщение связано с тем, что для голоморфной функции f(z) модуль |f(z)| есть логарифмически субгармоническая функция. Если f(z) ограниченная голоморфная функция в конечной области и условие

выполняется для всех точек кроме точек нек-рого множества внешней емкости нуль (в пространстве ), то всюду в D. См. также Двух констант теорема, Фрагмена Линделёфа теорема.

М. м. п. обобщается и на голоморфные отображения. Пусть голоморфное отображение области впространство

то, голоморфные функции в евклидова норма. Тогда ни в какой точке функция ||f(z)|| не может достигать локального максимума. М. м. п. справедлив всякий раз, когда выполняется сохранения области принцип.

Лит.:[1] Стоилов С., Теория функций комплексного переменного, пер. с рум., М., 1962; [2] В л а д и м и р о в В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964; [3] Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 1-2, М., 1976. Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985