Математическая энциклопедия - максимальный тор

1) М. т. линейной алгебраической группы G - алгебраическая подгруппа в G, являющаяся алгебраическим тором и не содержащаяся ни в какой большей подгруппе такого типа. Пусть, далее, группа Gсвязна. Объединение всех М. т. группы Gсовпадает с множеством всех полупростых элементов группы G(см. Жордана разложение), а пересечение с множеством всех полупростых элементов центра группы G. Всякий М. т. содержится в нек-рой Бореля подгруппе группы G. Централизатор М. т. является Картина подгруппой группы G; он всегда связен. Любые два М. т. группы G сопряжены в G. Если группа G определена над полем k, то в G существует М. т., также определенный над k;его централизатор тоже определен над k.

Пусть G редуктивная группа, определенная над полем k. Среди всех алгебраич. подгрупп в G, являющихся расщепимыми над kалгебраич. торами, также можно рассматривать максимальные подгруппы. Получающиеся таким образом максимальные k-расщепимые торы сопряжены над k. Общая размерность таких торов наз. k-рангом группы G и обозначается rkkG. Максимальный k-расщепимый тор не является, вообще говоря, М. т., т. е. rkkG, вообще говоря, меньше ранга G (равного размерности М. т. в G).. Если rkkG=0, то G наз. анизотропной над kгруппой, а если rkkG совпадает с рангом G, то G наз. расщеп и мой над kгруппой. Если kалгебраически замкнуто, то Gвсегда расщепима над k. В общем случае G всегда расщепима над сепарабельным замыканием k.

Примеры. Пусть k - поле и его алгебраич. замыкание. Группа невырожденных матриц порядка пс коэффициентами в ( см. Классическая группа, Полная линейная группа).определена и расщепима над простым подполем поля k. Подгруппа всех диагональных матриц является М. т. в G.

Пусть характеристика поля kотлична от 2. Пусть V-n-мерное векторное пространство над a Fневырожденная квадратичная форма на V, определенная над k(последнее означает, что в нек-ром базисе e1, ..., е п пространства Vформа является многочленом от x1, ..., х п с коэффициентами в k). Пусть G-группа всех невырожденных линейных преобразований пространства V, имеющих определитель 1 и сохраняющих форму F. Она определена над k. Пусть Vk - линейная оболочка над kвекторов e1, ..., е п;она является k-формой пространства V. В Vвсегда существует базис f1, ..., f п в к-ром форма имеет вид

где р=n/2, если и четно, и p=(n+1)/2, если и нечетно. Подгруппа в G, состоящая из тех элементов, к-рые в этом базисе имеют матрицу вида || а ij||, где а ij=0 при

при i=1, 2, ..., р, является

М. т. в G (так что ранг Gравен целой части числа п/2). Указанный базис не лежит, вообще говоря, в Vk. Однако в Vk всегда существует базис h1, ..., h п, в к-ром квадратичная форма имеет вид

где F0квадратичная форма, не представляющая над kнуля (т. е. такая, что уравнение F0=0 имеет в kтолько нулевое решение) (см. Витта разложение). Подгруппа в G, состоящая из всех элементов, к-рые в базисе h1, ..., h п имеют матрицу вида || а ij||, где а ij=0 при

при i=1, ..., qи при

i=q+l, ..., п-q, является максимальным k-расще-пимым тором в G (так что rkkG=q и G расщепима тогда и только тогда, когда qравно целой части п/2).