Математическая энциклопедия - нормальное число

действительное число , обладающее следующим свойством: для каждого натурального s любая заданная s-членная скобка состоящая из знаков g-1, появляется в последовательности

получающейся при разложении числа в бесконечную g-ичиую дробь

с асимптотич. частотой .

Подробнее, пусть g>l натуральное число и

бесконечная последовательность s-членных скобок, соответствующая последовательности (1). Через обозначается число появлений скобки среди первых пскобок последовательности (2). Число

наз. нормальным, если для любого натурального s и любой заданной s-членной скобки , состоящей из знаков

Понятие Н. ч. для n=10 было введено Э. Борелем (см. [1], [2] с. 197). Э. Борель называл действительное число слабо нормальным к основанию g, если

где .число появлений знака среди первых пчленов последовательности и называл нормальным, если числа слабо нормальны к основаниям Он установил также, что для Н. ч.

при любом s и любой заданной s-членной скобке Позднее было показано (см. [3], [4], а также [8]), что выполнимость последнего соотношения эквивалентна борелевскому определению Н. ч.

Число наз. абсолютно нормальным, если оно нормально по отношению ко всякому натуральному основанию . Существование нормальных и абсолютно Н. ч. было установлено Э. Борелем на основе теории меры. Построение Н. ч. в явном виде впервые было осуществлено в [5]. Ранее (см. [6], [7]) был указан эффективный процесс построения абсолютно Н. ч. О других способах построения Н. ч. и о связи понятия Н. ч. с понятием случайности см. [8].

Равномерное распределение дробных долей , на отрезке [0, 1] эквивалентно тому, что нормальное число.

Лит.:[1] Borel E., "Rend. circ. math. Palermo", 1909, t. 27, p. 247-71; [2] eго же, Lecons sur la theorie des fonctions, 3 ed., P., 1928; [3] Pillai S., "Proc. Indian Acad. Sci. Sec. A", 1940, v. 12, p. 179-84; [4] Niven I., Zuckerrnan H., "Pacific J. Math.", 1951, v. 1, p. 103-09; [5] Сhampernowne D. G., "J. London Math. Soc", 1933, v. 8, p. 254-60; [6] Sierpinski W., "Bull. Soc. math. Prance", 1917, t. 45, p. 127-32; [7] Lebesque H., там же, р. 13244; [8] Постников А. Г., Арифметическое моделирование случайных процессов, М., 1960 ("Тр. Матем. ин-та АН СССР", т. 57).

С. А. Степанов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985