Математическая энциклопедия - нормальное расширение

поля алгебраическое расширение Lполя К, удовлетворяющее одному из следующих эквивалентных условий:

1) любое вложение поля Lв алгебраич. замыкание поля Кявляется автоморфизмом поля L;

2) Lполе разложения нек-рого семейства многочленов с коэффициентами из K;

3) любой неприводимый над Kмногочлен f(x)с коэффициентами из K, имеющий корень в L, распадается в Lна линейные множители.

Для любого алгебраич. расширения F/K существует максимальное промежуточное подноле L, нормальное над K, причем где всевозможные вложения поля Fв . Существует также однозначно определенное минимальное Н. р. поля K, содержащее F. Это поле является композитом всех полей . Оно наз. нормальным замыканием поля Fотносительно K. Если и нормальные расширения поля K, то пересечение и композит снова нормальны над K. Однако даже если расширения и нормальны, расширение может и не быть нормальным.

Для полей характеристики 0 любое нормальное расширение является расширением Галуа. В общем случае Н. р. является расширением Галуа тогда и только тогда, когда оно сепарабельно.

Лит.:[1] Ван дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976; [2] Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [3] Постников М. М., Теория Галуа, М., 1963.

Л. В. Кузьмин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985