Математическая энциклопедия - нормальное аналитическое пространство

аналитическое пространство, локальные кольца всех точек к-рого нормальны, т. е. являются цело-вамкнутыми областями целостности. Точка ханалитич. пространства Xназ. нормальной (говорят также, что Xнормально в точке х), если локальное кольцо нормально. В окрестности такой точки пространство обладает приведенной и неприводимой локальной моделью. Любая простая (неособая) точка является нормальной. Простейший пример Н. а. п. аналитическое многообразие.

В дальнейшем основное (полное недискретно нормированное) поле kпредполагается алгебраически замкнутым. В этом случае получены наиболее полные результаты о Н. а. п. (см. [1]) и построена теория нормализации [2], к-рая естественным образом связывает с произвольным приведенным аналитическим пространством некоторое Н. а. п. Пусть N(X)множество точек аналитич. ространства X, не являющихся нормальными, a S(X) - множество особых точек в X. Тогда:

1) N(X)и S(X) - замкнутые аналитич. одмножества в X, причем

2) для выполняется неравенство (т. е. Н. а. п. гладко в коразмерности 1);

3) если Xявляется полным пересечением в точке хи выполнено предыдущее неравенство, то Xнормально в этой точке.

Нормализацией приведенного аналитич. ространства Xназ. пара где Н. а. п., а конечное сюръективное аналитич. отображение, индуцирующее изоморфизм открытых множеств

Нормализация определена однозначно с точностью до изоморфизма, т. е. если и две нормализации, то существует единственный аналитич. изоморфизм такой, что диаграмма коммутативна.

Нормализация существует и обладает следующими свойствами. Для каждой точки множество неприводимых компонент пространства Xв точке хнаходится во взаимно однозначном соответствии с . Слой прямого образа структурного пучка в точке естественно изоморфен целому замыканию кольца в его полном кольце частных.

Понятие Н. а. п. над может быть введено в терминах аналитич. родолжения голоморфных функций [3]. Именно, приведенное комплексное пространство нормально тогда и только тогда, когда для него справедлива первая теорема Римана об устранении особенностей: если открытое подмножество, а замкнутое аналитич. одмножество, не содержащее неприводимых компонент множества U, то любая функция, голоморфная на и локально ограниченная на U, допускает единственное аналитич. родолжение до голоморфной функции на U. Для нормальных комплексных пространств верна также ивторая теорема Римана об устранении особенностей: если в каждой точке , то упомянутое аналитич. родолжение возможно без требования ограниченности функции. Приведенное комплексное пространство Xнормально тогда и только тогда, когда для любого открытого множества отображение ограничения голоморфных функций биективно. Свойство нормальности можно сформулировать также на языке локальных когомологий оно равносильно, равенству (см. [5]). Для любого приведенного комплексного пространства Xможно определить пучок колец ростков слабоголоморфных функций, т. е. функций, удовлетворяющих условиям первой теоремы Римана. Оказывается, что кольцо конечно как -модуль и равно целому замыканию кольца в его полном кольце частных. Иными словами, где отображение нормализации.

Нормальное комплексное пространство можно охарактеризовать также следующим образом: комплексное пространство нормально тогда и только тогда, когда каждая его точка обладает окрестностью, допускающей аналитич. аложение на область пространства С ⁿ (см. [3], [8]).

Приведенное комплексное пространство Xявляется Штейна пространством тогда и только тогда, когда этим свойством обладает его нормализация (см. [4]). На нормальные комплексные пространства может быть распространено понятие метрики Ходжа (см. Кэлера метрика). На компактные нормальные пространства с такой метрикой переносится теорема Кодаиры о проективном вложении [6].

В алгебраич. геометрии рассматриваются аналоги Н. а. п.нормальные алгебраич. многообразия (см. Нормальная схема). Для алгебраич. многообразий над полным недискретным нормированным полем оба понятия совпадают (см. [7], [1]).

Лит.:[1] Abhуankar S. S., Local analytic geometry, N. Y.L., 1964; [2] Hоuzel С, в кн.: Seminaire H. Cartan, 13 annee. 1960/61, t. 2, P., 1963, exp. 18-21; [3] Grauert H. Remmert R., "Math. Ann.", 1958, Bd 136, S. 245-318; [4] Nаrasimhan R., "Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa", 1962, v. 16, p. 327-33; [5] Sin Y. Т., Тrautmann G., Gapsheaves and extension of coherent analytic subsheaves, B.-Hdlb.N. Y., 1971; [6] Грауэрт Г., в кн.: Комплексные пространства. Сб. пер., М., 1965, с. 45-104; [7] Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 2, М., 1963; [8] Фукс Б. А., Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных, М., ч. 1, 1962.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985