Математическая энциклопедия - нормальный алгорифм

название, закрепившееся за алгоритмами некоторого точно охарактеризованного типа. Наряду с рекурсивными функциями и Тьюринга машинами Н. а. получили известность в качестве одного из наиболее удобных уточнений общего интуитивного представления об алгоритме. Понятие Н. а. было выработано в 1947 А. А. Марковым в ходе его исследований по проблеме тождества для ассоциативных систем (см. Ассоциативное исчисление). Детально определение и общая теория Н. а. изложены в [1] (гл. I-V).

Всякий Н. а. , являясь алгоритмом в нек-ром алфавите А, порождает в нем детерминированный процесс переработки слов. Указание этого алфавита входит в определение Н. а. в качестве обязательной составной части, и в рассматриваемой ситуации про Н. а. говорят, что он является Н. а. в алфавите А. Любой Н. а. в фиксированном алфавите Авполне определяется указанием его схемы упорядоченного конечного списка формул подстановки в А. Каждая такая формула по существу представляет собой упорядоченную пару (U, V )слов в А. Слово Uназ. левой частью этой формулы, а Vее правой частью. Среди формул данной схемы нек-рые выделяются специально и объявляются заключительными. Обычно в схеме Н. а. заключительная формула записывается в виде а незаключительная в виде

Н. а. в алфавите Аесть предписание строить, исходя из произвольного слова Рв А, последовательность слов согласно следующему правилу. Слово Рберется в качестве начального члена этой последовательности, и процесс ее построения продолжается далее. Пусть для нек-рого слово построено и процесс построения рассматриваемой последовательности еще не завершился. Если в схеме Н. а.нет формул, левые части к-рых входили бы в полагают равным и процесс построения последовательности на этом считается закончившимся. Если же в схеме имеются формулы с левыми частями, входящими в то в качестве берется результат подстановки правой части первой из таких формул вместо первого вхождения ее левой части в слово при этом процесс построения последовательности считается завершившимся, если примененная на этом шаге формула подстановки была заключительной, и продолжающимся в противном случае. Если процесс построения упомянутой последовательности обрывается, то говорят, что рассматриваемый Н. а. применим к слову Р. Последний член этой последовательности считается результатом применения Н. а. к слову Ри обозначается символом . При этом говорят, что перерабатывает Р в Q, и пишут . Н. а. в каком-либо расширении алфавита Аназ. Н. а. над этим алфавитом.

Имеются веские основания считать, что уточнение общего представления об алгоритме в алфавите, произведенное с помощью понятия Н. а., является адекватным. Именно, считается, что для всякого алгоритма в каком-либо алфавите Аможет быть построен Н. а. над этим алфавитом, перерабатывающий произвольное слово Рв Ав тот же самый результат, в к-рый перерабатывает его исходный алгоритм . Это соглашение известно в теории алгоритмов под названием принципа нормализации. Уточнение понятия алгоритма, осуществленное на основе понятия Н. а., оказывается эквивалентным другим известным уточнениям (см., напр., [2]). Вследствие этого принцип нормализации оказывается равносильным Чёрча тезису, предлагающему считать понятие частично рекурсивной функции адекватным уточнением понятия вычислимой арифметич. функции.

Возникшие первоначально в связи с алгебраич. проблематикой Н. а. оказались удобным рабочим аппаратом во многих исследованиях, требующих точного понятия алгоритма,особенно тогда, когда основные объекты рассмотрения имеют неарифметич. природу и допускают удобное представление в виде слов в нек-рых алфавитах (такова, напр., ситуация в конструктивном анализе).

Лит.:[1] Марков А. А., Теория алгорифмов, М., 1954 (Тр. Матем. ин-та АН СССР, т. 42); [2] Мендельсон Э., Введение в математическую логику, пер. с англ., М., 1971.

Н. М. Нагорный.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985