Математическая энциклопедия - нормальный оператор

замкнутый линейный оператор А, определенный на плотном в гильбертовом пространстве H линейном многообразии DA, такой, что , где оператор, сопряженный с А. Если АН. о., то Обратно, выполнение этих условий обеспечивает нормальность А. Если А-Н. о., то: также нормален; Н. о. при любых нормален в случае, когда этот оператор существует, если где Вограниченный линейный оператор, то также

Для Н. о. Аимеют место:

1) мультипликативное разложение

где Uунитарный оператор, однозначно определяемый на ортогональном дополнении подпространства нулей операторов и ;

2) аддитивное разложение

где однозначно определяемые самосопряженные операторы, перестановочные между собой.

Из аддитивного разложения следует, что для упорядоченной пары существует единственная двумерная спектральная функция , где двумерный интервал такая, что

Из этого разложения следует также, что Н. о. Аявляется функцией нек-рого самосопряженного оператора Обратно, всякая функция любого самосопряженного оператора есть Н. о.

Важным свойством Н. о. является равенство из к-рого следует, что спектральный радиус Н. о. Асовпадает с его нормой . Собственные элементы Н. о., соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Лит.:[1] Плеснер А. И., Спектральная теория линейных операторов, М., 1965; [2] Рудин У., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1975.

В. И. Соболев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985