Математическая энциклопедия - параболического цилиндра функции

Вебера функции, Вебера Эрмита функции,решения дифференциального уравнения

к-рое получается в результате разделения переменных в волновом уравнении в параболических ци-линдрич. координатах. Наиболее часто используется решение

где вырожденная гипергеометрич. функция. Уравнению удовлетворяют также , . Функции и линейно независимы при любых и при , П. ц. ф.целые функции от z. Функция действительна при действительных v и z. Формулы дифференцирования (n=1, 2, . . .):

Рекуррентные формулы:

Асимптотика: при фиксированном и

при ограниченном

П. ц. ф. связана с др. функциями следующими соотношениями. С многочленами Эрмита:

с интегралом вероятности:

с функциями Бесселя:

Лит.:[1] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены, пер. с англ., 2 изд., М., 1974; [2] Миллер Д ж.-Ч.-П., Таблицы функций Вебера (функций параболического цилиндра), пер. с англ., М., 1968. Ю. А. Брычков, А. П. Прудников.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985