Математическая энциклопедия - параллельное перенесение

изоморфизм слоев над концами х 0 и x1 кусочно гладкой кривой L(x0, x1).базы Мгладкого расслоенного пространства Е, определяемый нек-рой заданной в Е связностью;. в частности, линейный изоморфизм касательных пространств Т Х0 (М). и TX1(M), определяемый вдоль кривой нек-рой заданной на М аффинной связностью. Развитие понятия П. п. началось с обычного параллелизма на евклидовой плоскости Е 2, для к-рой Ф. Миндинг (F. Minding, 1837) указал возможность обобщить ее на случай поверхности Мв Е 3 с помощью введенного им понятия развертывания кривой на плоскость Е 2. Это указание Миндинга послужило отправным пунктом для Т. Леви-Чивита [1], к-рый, оформляя аналитически П. п. касательного вектора на поверхности, обнаружил зависимость его только от метрики поверхности и на этой основе обобщил его сразу на случай n-мерного риманова пространства (см. Леви-Чивита связность). Г. Вейль [2] положил понятие П. и. касательного вектора в основу определения аффинной связности на гладком многообразии М. Дальнейшие обобщения итого понятия связаны с развитием общей теории связностей.

Пусть на гладком многообразии Мзадана аффинная связность с помощью матрицы локальных форм связности:

Говорят, что вектор получен параллельным перенесением из вектора вдоль гладкой кривой , если на Lсуществует гладкое векторное ноле X, соединяющее Х 0 и Х 1, такое, что , где Yпсле касательного вектора кривой L,a ковариантная производная поля Xотносительно Y, определяемая формулой

Таким образом, координаты поля Xдолжны удовлетворять вдоль Lсистеме дифференциальных уравнений

Из линейности этой системы следует, что П. п. вдоль Lопределяет нек-рый изоморфизм между и . П. п. вдоль кусочно гладкой кривой определяется как суперпозиция П. п. вдоль ее гладких кусков.

Автоморфизмы пространства , определяемые П. п. вдоль замкнутых кусочно гладких кривых , образуют линейную голономии группу; при этом и всегда сопряжены между собой. Если дискретна, т. е. ее компонента единицы одноэлементна, то говорят об аффинной связности с (локальным) абсолютным параллелизмом векторов, или о (локально) плоской связности. Тогда П. п. при любых x0 и x1 не зависит от выбора линии из одного класса гомотопии; для этого необходимо и достаточно равенство нулю тензора кривизны связности.

На основе П. п. вектора определяется П. п. ковектора и, вообще, тензора. Говорят, что поле ковектора на Lсовершает параллельное перенесение, если для любого векторного поля Xна L, совершающего П. п., функция постоянна вдоль L. Вообще, говорят, что поле тензора Т, напр. типа (2, 1), совершает параллельное перенесение вдоль L, если для любых X, Y и Э, совершающих П. п., функция постоянна вдоль L. Для этого необходимо и достаточно, чтобы компоненты удовлетворяли вдоль Lсистеме дифференциальных уравнений

После введения Э. Картавом [3] пространств проективной и конформной связностей в 1920-х гг. и общей концепции связности на многообразии понятие П. п. получило более общее содержание. В наиболее общем смысле оно понимается теперь при рассмотрении связностей в главных расслоенных пространствах или присоединенных к ним пространствах. Существует способ определения самого понятия связности с помощью понятия П. п., к-рое тогда определяется аксиоматически. Связность, однако, может быть задана горизонтальным распределением или нек-рым другим эквивалентным способом, напр. связности формой. Тогда для каждой кривой L(x0, x1).базы Мопределяются ее горизонтальные поднятия как интегральные кривые горизонтального распределения над L. П. п. наз. тогда отображение, к-рое концам этих понятий в слое над x1 ставит в соответствие их другие концы в слое над х 0. Аналогично определяются понятия группы голономии и (локально) плоской связности; последняя также характеризуется равенством нулю кривизны формы.

Лит.:[1] Levi-Civita Т., "Rend. Circolo mat. Palermo", 1917, t. 42, p. 173-205; [2] Weyl H., Raum, Zeit, Materie, 5 Aufl., В., 1923; [3] С a r t a n E., "Acta math.", 1926, t. 48, p. 1-42; [4] Номидзу К., Группы Ли и дифференциальная геометрия, пер. с англ., М., I960; [5] Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967.

Ю. Г. Лумисте.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985