Математическая энциклопедия - параллелизм абсолютный

поле реперов е=(e1 ,. . ., е п).на многообразии. П. а. определяет изоморфизм всех касательных пространств многообразия М, при к-ром отождествляются векторы касательных пространств Т р М и TqM, имеющие одинаковые координаты относительно реперов е р и eq. Это задает на многообразии линейную связность с нулевой кривизной. Параллельными полями относительно этой связности являются тензорные ноля, имеющие постоянные координаты относительно поля реперов е (в частности, векторные поля е 1, . .., е п параллельны), а операция ковариантного дифференцирования тензорного поля Тпо направлению векторного поля Xсводится к дифференцированию по направлению поля Xкоординат поля Тотносительно е. Обратно, линейная связность с нулевой кривизной на односвязном многообразии Мопределяет П. а. е, если задан дополнительно репер е р нек-рого касательного пространства Т р М. П. а. еполучается из репера е р разнесением с помощью параллельного переноса связности (параллельный перенос не зависит от выбора пути, соединяющего две данные точки многообразия, если связность имеет нулевую кривизну, а многообразие односвязно).

С точки зрения теории G-структур П. а. является {1} структурой, где {1} группа, состоящая из одной единицы. Интегрируемость такой структуры означает, что в окрестности любой точки многообразия существует система координат х ⁱ, для к-рой , i=l, . . ., п. Для этого необходимо и достаточно, чтобы векторные поля е 1, . .., е п попарно коммутировали или, иначе говоря, чтобы тензор кручения связности , задаваемый формулой , был тождественно равен нулю. П. а. наз. полным, если все векторные поля, имеющие постоянные координаты относительно доля реперов, полны или, что эквивалентно, если связность геодезически полна. В интегрируемом случае для этого достаточно полноты векторных полей e1, . . ., en Полный интегрируемый П. а. на односвязном многообразии Мзадает на Мструктуру аффинного пространства. Более обще, полный П. а. с ковариантно постоянным тензором кручения на одно связном многообразии Мс отмеченной точкой задает на M структуру группы Ли со структурными константами , для к-рой ноля е i образуют базис пространства левоинвариантных полей.

Группа автоморфизмов П. а. есть группа Ли, свободно действующая на М. Известны необходимые и достаточные условия того, чтобы две П. а. были локально изоморфны (см. [3]). Они выражаются в терминах тензора кручения и его ковариантных производных .

Лит.:[1] Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [2] Номидзу К., Группы Ли и дифференциальная геометрия, пер. с англ., М., 1960; [3] Стернберг С., Лекции по дифференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1970.

Д. В. Алексеевский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985