Математическая энциклопедия - параметрического резонанса математическая теория

раздел теории обыкновенных дифференциальных уравнений, изучающий явление па-раметрич. резонанса.

Пусть Sнек-рая динамич. система, способная совершать лишь колебательные движения и описываемая гамильтоновой системой линейной (невозмущенным уравнением)

c постоянным действительным гамильтонианом H0. Таким образом, матрица приводится к диагональному виду с чисто мнимыми элементами

собственные частоты системы. Пусть нек-рые параметры системы Sначинают периодически изменяться с частотой и малыми амплитудами, значения к-рых определяются малым параметром Если возбуждения не выводят из класса линейных га-мильтоновых систем, то движение системы Sбудет описываться возмущенным уравнением

где j=1, 2, ..., суть кусочно непрерывные, интегрируемые в матрицы-функции, и ряд в правой части (1) сходится при , где r0 не зависит от t.

Возникновение неограниченно возрастающих колебаний системы Sпри сколь угодно малом периодич. возмущении нек-рых ее параметров наз. параметрическим резонансом. Параметрич. резонанс имеет две существенные особенности: 1) спектр частот, при к-рых возникают неограниченно возрастающие колебания, не является точечным, а состоит из совокупности малых интервалов, длины к-рых зависят от амплитуды возмущений (т. е. от e) и к-рые стягиваются в точку при ; значения частот, к к-рым стягиваются эти интервалы, наз. критическими; 2) колебания нарастают не по степенному, а по экспоненциальному закону. Этим параметрич. резонанс намного "опаснее" (или "полезнее", в зависимости от задачи) обычного резонанса.

Пусть собственные значения 1-го рода, перенумерованные так, что Тогда критическими могут быть лишь частоты вида

Пусть собственные векторы fv матрицы , для к-рых нормированы так, что

где символ Кронекера, а

Тогда области неустойчивости в первом приближении по определяются неравенствами

где

Если j=h, то область неустойчивости отвечает основному резонансу, при комбинационному резонансу. Величина характеризует "степень опасности" критич. частоты чем больше эта величина, тем шире "клинышек" неустойчивости (3) с острием в точке . Установлена аналитич. ависимость границ областей неустойчивости от параметра е и получены аффективные формулы для вычисления областей (3) во втором приближении (см. [3], [4]).

В часто встречающемся в приложениях случае, когда возмущенная система Sописывается векторным уравнением 2-го порядка

где

собственные векторы и собственные значения (квадраты частот невозмущенной системы) матрицы Р 0 определяют формулами

Пусть

Тогда формулы (2) и (4) примут вид

соответственно. В частности, в базисе et, . . ., ek, где Р 0 диагональна:

и

имеет место:

и, следовательно (см. [5]):

Рассмотрен случай нелинейной зависимости коэффициентов уравнений (1) и (5) от параметра (см. [4]). Изучен параметрич. резонанс в линейных, системах, близких к гамильтоновым (см. [6]). Здесь областям основного резонанса предшествуют области главного резонанса, а наряду с областями комбинационного резонанса появляются области комбинационно-разностного резонанса. Для параметрич. резонанса в линейных распределенных системах (см. [7]) получен ряд аналогичных результатов для операторных уравнений (1) в гильбертовом пространстве. Исследовался параметрич. резонанс для нек-рых классов систем с конечным числом степеней свободы, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями (см. [8]).

Лит.:[1] Крейн М. Г., в кн.: Памяти Александра Александровича Андронова, М., 1955, с. 413-98; [2]Якубович В. А., "Докл. АН СССР", 1958, т. 121, № 4, с. "02 05; [3] его ж е, в кн.: Методы вычислений, в. 3,Л., 1966, с. 51 69; [4] Якубович В. А., Старжинский В. М., Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения, М., 1972; [5] Малкин И. Г.. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, М., 1956; [6] Старжинский В. М., "Инженерный ж. Механ. тверд, тела", 1987, т. 3, с. 174-80; [7] Фомин В. П., Математическая теория параметрического резонанса в линейных распределенных системах, Л., 1972; [8] Шмидт Г., Параметрические колебания, пер. с нем., М., 1978.

В, М. Старжинский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985