Математическая энциклопедия - паракомпактное пространство

топологическое пространство, в любое открытое покрытие к-рого можно вписать локально конечное открытое покрытие. (Семейство g множеств, лежащих в топологич. пространстве X, наз. локально конечным в X, если у каждой точки существует окрестность в X, пересекающаяся лишь с конечным множеством алементов семейства g; семейство у множеств вписанов семейство l множеств, если каждый элемент семейства g содержится в нек-ром элементе семейства X.) Паракомпактом наз. паракомпактное хаусдорфово пространство. Класс наракомпактов весьма широк он включает все метрич. пространства (теорема Стоуна) и все бикомпакты. Однако не каждое локально бикомпактное хаусдорфово пространство паракомиактно.

Значение паракомпактности определяется отмеченной общностью этого понятия и рядом замечательных свойств паракомпактов. Прежде всего, каждое хаусдорфово П. и. нормально. Это позволяет строить на паракомпактах разбиения единицы, подчиненные произвольному заданному открытому покрытию g. Так называются семейства действительных неотрицательных непрерывных функций на пространстве, подчиненные следующим условиям: а) семейство носителей этих функций локально конечно и вписано в g;б) в каждой точке пространства сумма значений всех тех функций семейства, к-рые отличны в ней от нуля (а таких функций конечное число), равна 1. Разбиения единицы являются основным средством построения погружений пространств в стандартные пространства. В частности, они используются для вложений многообразий в евклидовы пространства и при доказательстве теоремы о метризуемости каждого тихоновского пространства с s-локально конечной базой. Кроме того, на разбиениях единицы в теории многообразий основаны методы, с помощью к-рых осуществляется единовременный синтез локальных построений, производимых в пределах отдельных карт (в частности, тех или иных векторных и тензорных полей). Поэтому одним из требований исходных в теории многообразий является требование паракомпактности, не являющееся лишним, т. к. существуют непаракомпактные связные хаусдорфовы многообразия.

В присутствии паракомпактности нек-рые локальные свойства пространства синтезируются и выполняются глобально. В частности, если паракомнакт локально метризуем, то он метризуем; если хаусдорфово пространство локально полно по Чеху и паракомпактно, то оно полно по Чеху. В размерности теории для паракомпактов удается получить ряд важных соотношений, не распространяющихся даже на нормальные пространства. Это не удивительно, т. к. одно из основных определений размерности по Лебегу связано с рассмотрением кратности открытых покрытий, что, несомненно, родственно идее локальной конечности, на к-рой основано определение паракомпактности.

Паракомпактность но наследуется произвольными подпространствами (в отличие от метризуемости), иначе, напр., вес тихоновские пространства, как подпространства бикомпактных, оказались бы паракомиактами. Но каждое замкнутое подпространство паракомпакта есть наракомпакт. Большим недостатком паракомпактности является отсутствие мультипликативности: произведение двух паракомпактов может паракомпактом не быть. С другой стороны, в классе хаусдорфовых пространств прообраз паракомиакта при совершенном отображении является паракомиактом, и образ паракомпакта при непрерывном замкнутом отображении является паракомпактом. К числу паракомпактов относятся, в частности, Линделёфа пространства. Для пространства всех непрерывных действительных функций на произвольном тихоновском пространстве, наделенном топологией поточечной сходимости, паракомпактность равносильна линделёфовости. Если банахово пространство в слабой топологии топологически порождается нек-рым лежащим в нем бикомпактом, то оно паракомпактно. Важный пример паракомпактов полиэдры, стоящие за С W -комплексами.

В классы паракомпактов упрощаются критерии метризуемости. В частности, паракомпакт метризуем в том и только в том случае, если он обладает базой счетного порядка, т. е . базой, любая убывающая последовательность элементов к-рой, содержащих какую-либо точку , непременно образует базу в этой точке. Многообразны паракомпактности критерии. В частности, для тихоновского пространства Xравносильны условия: а) Xпаракомпактно, б) в любое открытое покрытие пространства Xможно вписать локально конечное покрытие, в) в каждое открытое покрытие пространства Xможно вписать s-локально конечное открытое покрытие, г) в любое открытое покрытие пространства Xможно вписать консервативное замкнутое покрытие, т. е. покрытие, объединение любого подсемейства к-рого замкнуто в X.

Важным является следующий критерий: тихоновское пространство Xиаракомпактно в том g только в том случае, если в каждое его открытое покрытие g можно вписать нек-рое открытое покрытие Кзвездно; последнее означает, что для каждой точки объединение всех элементов покрытия l, содержащих х, содержится в нек-ром элементе покрытия g. Понятие звездной вписанности служит выражением идеи неограниченной дробимости пространства и может восприниматься как наиболее общая теоретико-множественная форма аксиомы треугольника.

Лит.:[1] Купли Д ж., Общая топология, пер. с англ., 2изд., М.. 1981; [2] Архангельский А. В., Пономарев В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974; [3] Архангельский А., "Докл. АН СССР", 1961, т. 141, № 1, с. 13-15. А. В. Архангельский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985