Математическая энциклопедия - параллельное поле

ковариантно постоянное поле,поле тензоров Ана многообразии Мс линейной связностью , инвариантное относительно параллельного перенесения вдоль кривых на М. Это означает, что для любых точек тензор А р (значение тензорного поля Ав точке р). при параллельном перенесении в точку qвдоль любой гладкой кривой, соединяющей точки ри q, переходит в тензор Aq.

Поле тензоров Абудет параллельным тогда и только тогда, когда его ковариантная производная по направлению любого векторного поля Xтождественно равна нулю: или, иначе, когда ковариантный дифференциал DA поля Аравен нулю.

Множество параллельных полей образует подалгебру алгебры всех тензорных полей на многообразии М, инвариантную относительно сверток тензорных полей и перестановок их индексов. Алгебра естественным образом изоморфна алгебре тензоров в фиксированной точке рмногообразия М, инвариантных относительно однородной групиы голономии Г р связности в точке р. Для связности с полной группой голономии , где п=dim M, алгебра порождается символом Кронекера , для римановой связности с группой голономии О(n) метрич. тензором и обратным к нему тензором , а для римановой связности с группой голономии SO (n) тензорами и n-формой объема. Описаны также образующие алгебры параллельных дифференциальных форм на произвольном пространстве линейной связности без кручения с любой неприводимой группой голономии [5].

Особый интерес представляют П. п. дифференциальных форм в римановом многообразии со связностью Леви-Чивиты. С каждой такой формой w ассоциируется (с помощью операции свертки) ряд линейных операторов в пространстве дифференциальных форм, перестановочных с оператором Бельтрами Лапласа D, напр, операторы внутреннего и внешнего умножения на форму w или операторы ортогонального проектирования на инвариантные относительно группы голономии подпространства пространства дифференциальных форм. Изучение этих операторов позволяет получить оценки для размерностей пространств гармонич. форм различных степеней, т. е. (в компактном случае) для чисел Бетти многообразия М(см. [4]). Наиболее содержательная теория (см. Ходжа теорема).развита для кэлеровых и кватернионных римановых пространств, в к-рых всегда имеется П. п. 2-форм и, соответственно, 4-форм. Любая параллельная дифференциальная форма в римановом пространстве гармонична. В компактном симметрическом римановом пространстве верно и обратное: любая гармонич. форма параллельна. Поэтому кольцо вещественных когомологий компактного симметрич. пространства изоморфно кольцу параллельных дифференциальных форм.

Поле тензоров Аявляется П. п. относительно нек-рой линейной связности тогда и только тогда, когда оно инфинитезимально однородно, т. е. когда в каждой точке рмногообразия Мсуществует репер, относительно к-рого тензор А р имеет фиксированные координаты

не зависящие от точки р. В этом случаи множество реперов, относительно к-рых тензоры , имеют координаты , образует G-структуру, т. е. главное подрасслоение Р(А).расслоения реперов со структурной группой G, являющейся стабилизатором точки А р при действии группы в пространстве тензоров. Поле Апараллельно относительно любой связности в G-структуре Р(А), В частности, любое сечение расслоения Р(А) (если оно существует) задает связность с нулевой кривизной, относительно к-рой поле Апараллельно.

Более сложным является вопрос о существовании связности без кручения, относительно к-рой данное инфинитезимально однородное поле параллельно. Если поле Аявляется псевдоримановой метрикой, то такая связность (связность Леви-Чивита) всегда существует и единственна. Оказывается, что этот случай является исключительным: если для нек-рого тензорного поля Асуществует единственная связность без кручения, относительно к-рой оно параллельно, то структурная группа G G -структуры Р(А).является псевдоортогональной группой и, следовательно, с полем Аканонич. образом ассоциируется псевдорима-нова метрика [7]. Для широкого класса инфинитезимально однородных тензорных полей Аналичие связности без кручения, относительно к-рой поле параллельно, влечет за собой интегрируемость поля Л, т. е. существование локальной системы координат, в к-рой координаты поля Апостоянны. Это верно, напр., для почти комплексной структуры, почти симплектич. структуры и для любого поля А, для к-рого структурная группа G расслоения Р(А).неприводима и не принадлежит известному списку неприводимых групп голономии пространств линейной связности без кручения [5].

Лит.:[1] Кобаяси Ш., Номиязу К., Основы.