Математическая энциклопедия - параметра вариации метод

метод приближенного решения нелинейных (и линейных) функциональных и операторных уравнений в банаховых пространствах , а также для качественных исследований. П. в. м. состоит в том, что уравнение Р(х)=0, где оператор Р(х).непрерывно дифференцируем по Фреше до нужного порядка, или нек-рый нелинейный функционал Ф(х), связанный с решением лтого уравнения, обобщаются путем введения вспомогательного числового (или общего функционального) параметра l, принимающего значения на конечном или бесконечном промежутке , так: , где ,оператор со значениями в Y, так что Р(х)=0 получается при , а уравнение легко разрешается или известно его решение x0. При этом предполагается, что оператор непрерывно дифференцируем (в смысле Фрете) по хи l, т. е. существуют непрерывные частные производные и , и что существует непрерывный оператор из Yв X. Для построения решения уравнения на всем интервале l0ll* строится соответствующая дифференциальная задача (задача Коши) в предположении, что непрерывно дифференцируемая функция со значениями в X, определяемая этим уравнением:

или

Интервал разбивается точками <.на более мелкие подинтервалы длины , k=1,2,..., п, и к задаче Коши (2) (или (1)) применяются методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с шагом (или несколько таких методов). В результате для построения решения х(l) уравнения F(x, А,)=0 получаются П. в. м. соответствующих типов. Построенное значение х(l*).будет решением уравнения Р(x)=0.

Решение на каждом шаге линейных относительно задач вида (1) или обращение линейных операторов в (2), или последовательная аппроксимация обратного оператора проводятся различными методами или опять-таки П. в. м.

Шаги выбираются различными способами, напр. из условия минимума нормы невязки как функции многих, вообще говоря, переменных. При этом эффективным является также совместный выбор и свободных параметров метода численного интегрирования, напр. Рунге Кутта методаs-ro порядка точности, использование корней полиномов Чебыптева и близких к ним и др.

Задача Коши (2) служит не только средством для определения приближенного решения рассматриваемого уравнения, но и для доказательства существования самого решения. Изучен ряд различных способов введения параметра l. В качестве числового параметра l, может быть использован также и один из естественных параметров, содержащихся в рассматриваемой задаче.

В зависимости от способа введения параметра lП. в. м. является прямым или итерационным методом. Совместное применение прямого и итерационного методов наз. комбинированным П. в. м. Напр., итерационный метод типа усовершенствованного метода

Эйлера Коши с шагом (при F(x,l)=P(x).(1-l)Р( х 0),l=0 и l*=1).является методом 3-го порядка точности и имеет следующий вид:

Каждый метод численного интегрирования порождает свой итерационный П. в. м. высокого порядка точности, причем без привлечения производных Р(х).порядка выше первой.

Использование методов численного интегрирования в прямом П. в. м. совместно с корректировкой результатов после каждого шага с помощью итерационного П. в. м. (комбинированный П. в. м.) представляет собой один из наиболее эффективных методов решения нелинейных задач.