Математическая энциклопедия - первая квадратичная форма

метрическая форма, поверхности квадратичная форма от дифференциалов координат на поверхности, к-рая определяет внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки.

Пусть поверхность задана уравнением

где ии v - внутренние координаты на поверхности;

дифференциал радиус-вектора r вдоль выбранного направления du: dv смещения из точки Мв бесконечно близкую точку М' (см. рис. 1).

Квадрат главной линейной части приращения длины дуги ММ' выражается квадратом дифференциала dr:

и наз. первой основной квадратичной формой поверхности. Коэффициенты П. к. ф. обычно обозначают через

или в тензорных символах

Тензор gij наз. основным, или метрическим, тензором поверхности. П. к. ф. является положительно определенной формой в обыкновенных точках поверхности:

П. к. ф. характеризует метрич. свойства поверхности: знание П. к. ф. позволяет вычислять длины дуг на поверхности:

где t - параметр на кривой; углы между кривыми на поверхности:

где и направления векторов, касательных к кривым (см. рис. 2);

площади областей на поверхности:

Вид коэффициентов П. К. ф. существенно зависит от выбора координат на поверхности. П. к. ф. имеет т. н. ортогональный вид:

в ортогональных координатах; канонический в и д

в полугеодезич. координатах; изотермический (изометрический) вид в изотермич. координатах,

Иногда поверхности характеризуются специальными видами П. к. ф. Напр., Лиувилля поверхности характеризуются следующим видом П. к. ф.:

П. к. ф. является инвариантом изгибания поверхности: полная кривизна поверхности в данной точке может быть вычислена через коэффициенты только П. к. ф. и их производные (теоремы Гаусса).

О связи П. к. ф. с другими квадратичными формами поверхности и лит. см. в ст. Квадратичные формы поверхности. А. В. Иванов

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985