Математическая энциклопедия - проективная геометрия

раздел геометрии, изучающий свойства фигур, не меняющиеся при проективных преобразованиях, напр. при проектировании. Такие свойства наз. проективными; к ним относятся, напр., прямолинейное расположение точек (коллинеарность), порядок алгебраич. кривой и т. д.

При проектировании точек одной плоскости П на другую плоскость П' не каждая точка П' имеет прообраз в П и не каждая точка из П имеет образ в П'. Это обстоятельство привело к необходимости дополнения евклидова пространства т. н. бесконечно удаленными элементами (несобственными точками, прямыми и плоскостью) и к образованию нового геометрич. объекта трехмерного проективного пространства. При этом каждая прямая дополняется одной несобственной точкой, каждая плоскость одной несобственной прямой, все пространство одной несобственной плоскостью. Параллельные прямые дополняются одной и той же несобственной точкой, непараллельные разными, параллельные плоскости дополняются одной и той же несобственной прямой, непараллельные равными. Несобственные точки, которыми дополняется плоскость, принадлежат несобственной прямой, дополняющей ту же плоскость. Все несобственные точки и несобственные прямые принадлежат несобственной плоскости. Дополнение евклидова пространства до проективного пространства приводит к тому, что проектирование становится взаимно однозначным. Аналогичная процедура применима и для re-мерного пространства.

Существуют различные способы аксиоматич. построения проективного пространства. Наиболее распространенным является видоизменение системы аксиом, предложенной в 1899 Д. Гильбертом (D. Hilbert) для обоснования элементарной геометрии (см. Гильберта система аксиом). Проективное пространство рассматривается как совокупность элементов трех родов: точек, прямых и плоскостей, между к-рыми установлено основное для П. г. отношение инцидентности, характеризующееся надлежащими аксиомами. Они отличаются от соответствующей группы аксиом элементарной геометрии тем, что требуют, чтобы каждые две прямые, лежащие в одной плоскости, имели общую точку, и на каждой прямой имелось, по крайней мере, три различные точки. В конкретных случаях для получения более "богатой" П. г. эта совокупность аксиом дополняется аксиомами порядка и непрерывности (для действительного проективного пространства), Паппа аксиомой (для П. г. над коммутативным телом), Фано постулатом (для П. г. над телом, характеристика к-рого ) и т. д.

Замечательным положением П. г. является двойственности принцип. Говорят, что точка и прямая (точка и плоскость, прямая и плоскость) инцидентны, если точка лежит на прямей (или прямая проходит через точку) и т. д. Тогда если верно нек-рое предложение о точках, прямых и плоскостях проективного пространства, сформулированное только в терминах инцидентности между ними, то будет верно и двойственное предложение , к-рое получается из заменой слова "точка" на слово "плоскость", слова "плоскость" на слово "точка" и с сохранением слова "прямая".

Важную роль в П. г. играет Дезарга предложение, выполнение к-рого необходимо и достаточно для введения проективными средствами системы проективных координат, составленных из элементов нек-рого тела К, естественным образом связанного с точками проективной прямой (см. Проективная алгебра).

Основы П. г. были заложены в 17 в. Ж. Дезаргом (G. Desargues) (в связи с развитием им учения о перспективе) и Б. Паскалем (В. Pascal) (в связи с изучением им нек-рых свойств конич. сечений). Большое значение для последующего развития П. г. имели работы Г. Монжа (G. Monge, 2-я пол. 18 нач. 19 вв.). Как самостоятельная дисциплина П. г. была изложена Ж. Понселе (J. Poncelet, нач. 19 в.). Заслуга Ж. Понселе заключалась в выделении проективных свойств фигур в отдельный класс и установлении соответствий между метрическими и проективными свойствами этих фигур. К этому же периоду относятся работы Ж. Брианшона (J. Brianchon). Дальнейшее развитие П. г. получила в трудах. Я. Штейнера (J. Steiner) и М. Шаля (М. Chasles). Большую роль в развитии П. г. сыграли работы К. Штаудта (Ch. Staudt), в к-рых были намечены также контуры аксиоматич. построения П. г. Все эти геометры стремились доказывать теоремы П. г. синтетич. методом, положив в основу изложения проективные свойства фигур. Аналитич. направление в П. г. было намечено работами А. Мёбиуса (A. Mobius). Влияние на развитие П. г. оказали работы Н. И. Лобачевского по созданию неевклидовой геометрии, позволившие в дальнейшем А. Кэли (A. Cayley) и Ф. Клейну (F. Klein) рассмотреть различные геометрич. системы с точки зрения П. г. Развитие аналитич. методов обычной П. г. и построение на этой базе комплексной П. г. (Э. Штуди, Е. Study, Э. Картан, Е. Cartan) поставили задачу о зависимости тех или иных проективных свойств от того тела, над которым построена геометрия. В решении этого вопроса больших успехов добились А. Н. Колмогоров и Л. С. Понтрягин.

Лит.:[1] Глаголев Н. А., Проективная геометрия, 2 изд., М.-Л., 1963; [2] Гильберт Д., Кон Фоссен С., Наглядная геометрия, пер. с нем., 3 изд., М., 1981; [3] Кокстер X. С. М., Действительная проективная плоскость, пер. с англ., М., 1959; [4] Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.Л., 1948; [5] Хартсхорн Р., Основы проективной геометрии, пер. с англ., М., 1970; [6] Ефимов Н. В., Высшая геометрия, В изд., М., 1978; [7] Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии . . ., М., 1968; [8] Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р., Линейная алгебра и многомерная геометрия, М., 1970; [9] Артин Э., Геометрическая алгебра, пер. с англ., М., 1969; [10] Vеblеn О., Yоung J. W., Projective geometry, v. 1-2, Boston-N.Y., 1910-18; [11] Blaschke W., Pro-jektive Geometric, 3 Aufl., Basel, 1954. М. И. Войцеховский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985