Математическая энциклопедия - симметризация

сопоставление каждому объекту Fобъекта F* (того же класса), обладающего нек-рой симметрией. Обычно С. подвергают замкнутые множества Fв евклидовом пространстве Е ⁿ (или в пространстве постоянной кривизны), а также отображения, причем С. строится так, что F* непрерывно зависит от F. С. сохраняют одни и монотонно изменяют другие характеристики объекта. С. используются в геометрии, математич. физике, теории функций при решении экстремальных задач.. Впервые С. введена Я. Штейнером (J. Steiner) в 1836 для доказательства изопериметрическоео неравенства.

С. относительно плоскости в Е ⁿ:для каждого непустого сечения множества Fплоскостью в строят шар с центром и тем же k-мерным объемом, что ; заполняемое шарами множество F* есть результат симметризации. С. относительно плоскости сохраняет объем, выпуклость, не увеличивает площадь границы и интегралы поперечных мер (см. [2]). При k=1эта С. есть симметризация Штейнера, при k=n-1симметризация Шварца.

С. относительно полуплоскости в Е ⁿ:для каждого непустого сечения Fсферой

, имеющей центр на границе и лежащей в , строят сферич. шапочку (Dⁿ - шар с центром ) того же k-мерного объема, что ; заполняемое шапочками множество F* есть результате. При k=n-1 это сферическая С., если n=2 круговая С.

С. смешением: для выпуклого множества строят симметричное ему относительно плоскости множество F';результатом С. является множество F*=(F+F')/2, где сложение множеств понимается как векторная сумма.

С. окатываним: для выпуклого тела его опорная функция усредняется на параллельных сечениях единичной сферы; результатом С. считается тело F*, восстановленное по получившейся опорной функции.

В E³ симметризация Штейнера не увеличивает емкость; симметризация Шварца сохраняет непрерывность гауссовой кривизны границы и не уменьшает ее минимум; С. относительно полуплоскости не увеличивает основную частоту области и площадь границы; сферическая С. не увеличивает емкость; С. смешением сохраняет интеграл средней кривизны границы и не уменьшает площадь последней; С. окатыванием сохраняет ширину (см. [1], [3]).

В Е ² симметризация Штейнера не увеличивает полярный момент инерции, внешний радиус, емкость, основную частоту; не уменьшает жесткость кручения, максимальный внутренний конформный радиус (см. [3]).

В связи с многократным применением С. рассматриваются вопросы сходимости С. Определения аналогов С. для незамкнутых множеств допускают ветвления. О применении С. в теории функций см. Симметризации метод.

Лит.:[1] Б л я ш к е В., Круг и шар, пер. с нем., М., 1967; [2] X а д в и г е р Г., Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии, пер. с нем., М., 1966; [3] П о л и а Г., С е г ё Г., Изопериметрические неравенства в математической физике, пер. с англ., М., 1962; [4] L е i с h t w е i s s К., K o n v e x e Mengen, В., 1980. С. Л. Печерский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985