Математическая энциклопедия - сопряженные гармонические функции

гармонически сопряженные функции,пара действительных гармонич. функций (г. ф.) . и v, являющихся действительной и мнимой частями нек-рой аналитич. ции f=u+iv комплексного аргумента. В случае одного комплексного переменного z=x+iy г. ф. u=и( х, у )и v=v(x, у) являются С. г. ф. в области Dкомплексной плоскости С тогда и только тогда, когда они удовлетворяют в Dсистеме уравнений Коши Римана

В системе (1) роль г. ф. ии . не симметрична: функция г является сопряженной для и, но для vсопряженной будет не и, а - и. Если задана г. ф. и=и( х, у), то С. г. ф. v=v(x, у )и вся аналитич. ция f=u+iv легко определяются с точностью до чисто мнимого постоянного слагаемого ic;это можно сделать, напр., по формуле Гурса

в окрестности нек-рой точки из области определения и.

В случае многих комплексных переменных z=x+iy=(z1,..., zn)=(x1,. . ., xn)+i(y,. . ., у n), п>1, система Коши Римана становится переопределенной:

Из (3) вытекает, что при n>1 функция иуже не может быть задана как произвольная г. ф.она должна принадлежать подклассу плюригармонических функций;сопряженную плюригармонич. функцию vможно и в этом случае найти по формуле (2).

Известны различные аналоги системы С. г. ф. ( и, v )в виде вектор-функции f=(ul,...,um), компоненты к-рой uj=uj(xi, ..., х n )суть действительные функции действительных переменных xl,. . ., х п. Такова, напр., градиентная система f=(u1,. . ., и n), удовлетворяющая обобщенной системе уравнений Коши Римана

к-рая записывается также в сокращенном виде:

divf=0, rotf = 0.

Если условия (4) выполняются в области Dевклидова пространства гомеоморфной шару, то существует г. ф. hв Dтакая, что f=gradh. При п=2 получают, что u2+iu1 есть аналитич. ция переменного z= =x1+ix2. Поведение решений системы (4) в нек-рых вопросах аналогично системе Коши Римана (1), напр. при изучении граничных свойств (см. [3]).

Лит.:[1] Бицадзе А. В., Основы теории аналитических функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1972; [2] Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964; [3] С тейн М., Вейс Г., Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах, пер. с англ., М., 1974.

К. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985