Математическая энциклопедия - сопряженный модуль

двойственный модуль, дуальный модуль,модуль гомоморфизмов модуля в основное кольцо. Точнее, пусть Млевый модуль над кольцом R. Абелеву группу HomR ( М, R )гомоморфизмов модуля Мв левый R-модуль Rможно превратить в правый R-модуль М*, полагая

Этот правый модуль М* наз. С. м. модуля М. Если то можно определить элемент положив для всех Этим определяется гомоморфизм модуля Мв М**. Гомоморфизмом является и отображение (С - левый R-модуль), определяемое равенством

Оба эти гомоморфизма являются изоморфизмами, если Мконечно порожденный проективный модуль [2]. Из свойств функтора Ноm вытекает изоморфизм прямая сумма, II прямое произведение) и существование гомоморфизма М*** в М*. Сквозное отображение является тождественным. Однако М*** не обязательно изоморфен М*. Важными являются и модули без кручения в смысле Басса, т. е. модули, для к-рых указанный выше гомоморфизм Мв М** оказывается мономорфизмом. Это свойство равносильно вложимости модуля Мв прямое произведение нек-рого множества экземпляров основного кольца. Если R нётерово справа и слева, то отображение осуществляет двойственность между категориями всех левых и всех правых конечно порожденных R-модулей тогда и только тогда, когда R квазифробениусово.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962; [2] Маклейн С., Гомология, пер. с англ., М., 1966; [3] Мишина А П., Скорняков Л. А., Абелевы группы и модули, М., 1969.

Л. А. Скорняков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985