Математическая энциклопедия - сопряженный функтор

понятие, выражающее универсальность и естественность многих важных математич. конструкций: свободных универсальных алгебр, различных пополнений, прямых и обратных пределов и т. д.

Пусть одноместный ковариантный функтор из категории в категорию Функтор Fиндуцирует функтор

где категория, двойственная категории категория множеств, основной теоретико-множественный функтор. Функтор H^F контравариантен по первому аргументу и ковариантен по второму. Аналогично, любой ковариантный функтор индуцирует функтор

также контравариантный по первому аргументу и ковариантный по второму. Функторы Fи Gсопряжены, или образуют сопряженную пару, если функторы Н ^F и Н G изоморфны, т. е. существует естественное преобразование к-рое устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами морфизмов и для любых объектов и Преобразование наз. сопряжением F с G; функтор Fназ. левым сопряженным к функтору G, a G - правым сопряженным к F (что обозначается или просто Преобразование наз. косопряжением.

Пусть Для любых объектов и пусть

Семейства морфизмов и определяют естественные преобразования и к-рые наз. соответственно единицей и коединицей сопряжения Для преобразований и справедливы следующие равенства:

Вообще, пара естественных преобразований и состоит из единицы и коединицы нек-рого сопряжения, когда выполнены равенства

для любых объектов Х и Y. Естественное преобразование является единицей нек-рого сопряжения тогда и только тогда, когда для любого морфизма из категории существует такой единственный морфизм в категории что Последнее свойство выражает тот факт, что объект F(X)свободен над Xотносительно функтора G в смысле следующего определения. Объект вместе с морфизмом свободен над объектом если всякий морфизм однозначно представим п виде для нек-рого морфизма Функтор тогда и только тогда обладает левым С. ф., когда для каждого существует объект Y, свободный над Xотносительно G. Примеры С. ф.

1) Если где категория множеств, то G обладает левым С. ф. тогда и только тогда, когда он представим. Представимый функтор обладает левым С. ф. тогда и только тогда, когда в имеются любые копроизведения где и А x=А для всех

2) В категории множеств для любого множества Аосновной функтор H^A(Y) = H(A, Y) сопряжен слева функтору

3) В категории абелевых групп функтор Hоm (A, Y )сопряжен слева функтору тензорного умножения на А, а функтор вложения полной подкатегории периодич. групп сопряжен справа функтору взятия нериодич. части произвольной абелевой группы.

4) Пусть пренебрегающий функтор из произвольного многообразия универсальных алгебр в категорию множеств. Функтор Робладает левым С. ф. к-рый каждому множеству Xсопоставляет свободную алгебру многообразия с множеством Xсвободных образующих.

5) Функтор вложения произвольной рефлективной подкатегории категории сопряжен слева -рефлектору. В частности, функтор вложения категории абелевыx групп в категорию групп обладает левым С. ф., к-рый каждой группе Gсопоставляет ее факторгруппу по коммутанту.

Свойства С. ф. Функтор, сопряженный слева к данному функтору, определен однозначно с точностью до изоморфизма функторов. Сопряженный слева функтор унивалентен тогда и только тогда, когда единица сопряжения состоит из мономорфизмов. Он перестановочен с копределами и переводит нулевые объекты и нулевые морфизмы в нулевые объекты и нулевые морфизмы соответственно.

Пусть и полные слева и локально малые слева категории. Функтор тогда и только тогда обладает сопряженным слева функтором когда выполнены следующие условия: а) функтор G перестановочен с пределами; б) для каждого хотя бы одно из множеств Н( Х, G(Y), непусто; в) для каждого существует такое множество что всякий морфизм представим в виде где

Переход к двойственным категориям позволяет установить двойственность между понятиями лфунктор, сопряженный слева

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985