Математическая энциклопедия - сопряженное дифференциальное уравнение

к линейному обыкновенному дифференциальному уравнению l(y)=0 линейное обыкновенное дифференциальное уравнение где

С ^т (I) пространство m раз непрерывно дифференцируемых комплекснозначных функций на и

(черта означает операцию комплексного сопряжения). Из определения следует, что

где скаляр. Сопряженным к уравнению является уравнение l(y)=0. Для любых праз непрерывно дифференцируемых функций у(t)и справедливо тождество Лагранжа:

из к-рого следует формула Грина:

Если y(t), - произвольные решения уравнений l(у)=0и то

Знание линейно независимых решений уравнения позволяет понизить порядок уравнения l(y) ⁼ 0 на . единиц (см. [1] [3]). Для системы дифференциальных уравнений

с непрерывной комплекснозначной -матрицей A(t), сопряженная система определяется равенством

(см. [1], [4]); здесь A*(t)эрмитово сопряженная матрица к матрице A(t). Тождество Лагранжа и формула Грина приобретают вид

здесь скалярное произведение (сумма произведений одноименных координат). Если x(t), - произвольные решения уравнений L(x) = 0, то

Понятие С. д. у. тесно связано с общим понятием сопряженного оператора. Если, напр., l - линейный дифференциальный оператор, действующий из пространства С ⁿ (I) в пространство С(I)по формуле (1), то сопряженный дифференциальный оператор l* действует из пространства С*(I). сопряженного к С(I), в пространство С*(I), сопряженное к С ⁿ(I). Сужение оператора l* на пространство С ⁿ(I) определяется формулой (2) (см. [5]).

С. д. у. определяется, кроме того, для линейного дифференциального уравнения с частными производными (см. [6], [5]).

Пусть и Uk - линейные и линейно независимые функционалы на пространстве Тогда сопряженная краевая з ад ача к линейной краевой задаче

определяется равенствами

Здесь линейные функционалы на пространстве описывающие сопряженные краевые условия, т. е. определяемые так, чтобы равенство (см. Грина формулы)

выполнялось для любой пары функций удовлетворяющей условиям Uk(y) =0, K=l,..., т, Если

линейные формы переменных

то тоже линейные формы переменных .

Пример. Для задачи

с действительными сопряженная краевая задача имеет вид

Если задача (2) имеет kлинейно независимых решений (в атом случае ранг краевой задачи r=n-k). то задача (3) имеет m-n+k линейно независимых решений (ее ранг r' = 2п- т-k). При т=п задачи (2), (3) имеют одинаковое число линейно независимых решений; поэтому при т=n задача (2) не имеет решений, кроме тривиального, в том и только в том случае, когда этим свойством обладает сопряженная краевая задача (3). Справедлива альтернатива Фредгольма: полуоднородная краевая задача

l(y) = f(t), Uk(y)=0, k = l, ..., п,

имеет решение, если функция f(t)ортогональна ко всем нетривиальным решениям сопряженной краевой задачи (3), т. е.

(см. [1] [3], [7]). Для задачи о собственных значениях

сопряженной задачей о собственных значениях наз. задача

Если собственное значение задачи (4), то собственное значение задачи (5). Собственные функции y(t), отвечающие собственным значениям и задач (4) и (5) соответственно, ортогональны, если (см. [1] [3]):

Для линейной краевой задачи

где Uесть т-вектор-функционал на пространстве непрерывно дифференцируемых комплексно-значных n-вектор-функций, т<2 п, сопряженная краевая задача определяется равенствами

(см. [1]); здесь U* есть (2 п-m )-вектор-функционал, определяемый так, чтобы равенство

выполнялось для любой пары функции удовлетворяющей условиям

Задачи (0), (7) обладают свойствами, аналогичными перечисленным выше (см. [1]).

Понятие сопряженной краевой задачи тесно связано с понятием сопряженного оператора [5]. Сопряженная краевая задача определяется также для линейной краевой задачи для уравнения с частными производными (см. [6], [7]).

Лит.:[1] Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976; [2] Наймарк М. А., Линейные дифференциальные операторы, М., 1969; [3] Коддингтон Э. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1958; [4] Хартман Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., М., 1970; [5] Данфорд Н., Шварц Д ж. Т., Линейные операторы. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве, пер. с англ., ч. 2, М., 1986; [6] Михайлов В. П., Дифференциальные уравнения в частных производных, М., 1976; [7] Владимиров В. С., Уравнения математической физики, Д изд., М., 1981.

Е. Л. Тонков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985