Математическая энциклопедия - дифференциальное включение

многозначное дифференциальное уравнение, дифференциальное уравнение с многозначной правой часть ю,соотношение

где x=x(t)неизвестная вектор-функция на нек-ром интервале, F(t, x)множество в n-мерном пространстве, зависящее от числа tи вектора х=( х 1, ..., х п). Решением Д. в. (1) обычно называется абсолютно непрерывная вектор-функция x(t), почти всюду на рассматриваемом интервале изменения tудовлетворяющая соотношению

В частности, если множество F(t, x )состоит из одной точки, то Д. в. превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение dx/dt=F(t, x). Уравнения вида где Dx{t)контингенция[1], в широком классе случаев равносильны Д. в.

К Д. в. приводят, напр., задача о функциях, удовлетворяющих дифференциальному уравнению с заданной точностью

дифференциальные неравенства

дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (см. [1], [2]); задачи теории оптимального управления (см. [3], [4]). В задачах управления обычно рассматривается уравнение

где x=x(t)искомая вектор-функция, a u=u(t)управление, т. е. вектор-функция, к-рую можно выбирать произвольно среди всех допустимых управлений (таких, что при каждом t, где Uзаданное множество, могущее зависеть от tи от x=x(t)). Множество решений уравнения (2) при всевозможных допустимых управлениях u=u(t)удовлетворяет Д. в. (1), где F(t, x)множество всех значений функции f(t, х, и), когда ипробегает множество U.

В теории Д. в. обычно предполагается, что при любых t, х из рассматриваемой области Gмножество F(t, x )есть непустое замкнутое ограниченное множество n-мерного пространства. Если множество F(t, x )всегда выпукло, при каждом tоно является полунепрерывной сверху функцией от х(т. е. для любых t, х и любого е>0 при всех достаточно малых | х'- х| множество F(t, x'). содержится в e-окрестности множества F(t, х)), а при каждом хизмеримой функцией от t (т. е. для любого хи любого шара Вв n-мерном пространстве множество значений t, при к-рых множество не пусто, является измеримым по Лебегу), и если F(t, x )всегда содержится в шаре где функция m(t)интегрируема по

Лебегу, то при любых начальных условиях x(t0) = x0, решение Д. в. существует (см. [5]) и интегральная воронка, состоящая из таких решений, обладает обычными свойствами [5]. От требования выпуклости множества F(t, x )можно отказаться, если оно непрерывно зависит от х. При этом существование решения сохраняется [6], а свойства интегральных воронок нет.

Обзор работ по теоремам существования решений для Д. в. и связи Д. в. с задачами управления см. в [7]. Для Д. в. рассматривается понятие устойчивости [8]; изучаются существование ограниченных и периодич. решений и другие свойства Д. в. [9].

Лит.:[1] Барбашин Е. А., Алимов Ю. И., "Изв. вузов. Математика", 1962, № 1, с. 3-13; [2] Филиппов А. Ф., "Матем. сб.", 1960, т. 51, №. 1, с. 99-128; [3] Wazewski Т., "Bull. Acad. Polon. Sci., ser. math.", 1961, t. 9, № 3, p. 151 55; [4] Филиппов А. Ф., "Вестн. МГУ. Сер. матем.", 1959, №2, с. 25-32; [5] Davу J. L., "Bull. Austral. Math. Soc", 1972, v. 6, № 3, p. 379 98; [6] Оleсh C, "Boll. Unione mat. ital.", 1975, t. 11, №3, p. 189-97; [7] Благодатских В. И., Summer School on ord. dif. eq, "Difford 74" (Czechosl.), 1974, p. 29-67; [8] Rоxin E., "J. Dif. Equat.", 1965, v. 1, № 2, p. 115-50; [9]Поволоцкий А. И., Ганге E, А., "Уч. зап. Ленингр. гос. пед. ин-та", 1970, т. 464, ч. 1, с. 235 42.

А. Ф. Филиппов

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985