Математическая энциклопедия - гипергеометрическое распределение

распределение вероятностей, заданное формулой

где М, N и n - целые неотрицательные числа и , (здесь биномиальный коэффициент). Г. р. обычно связано с выбором без возвращения, а именно: формула (*) указывает вероятность получения ровно та "отмеченных" элементов в случайной выборке объема пиз генеральной совокупности, содержащей N элементов, среди к-рых М"отмеченных" п N-M"неотмеченных" элементов. При этом вероятность (*) определена лишь для

Однако определение (*) можно использовать при всех , т. к. можно считать, что при , поэтому равенство нужно понимать как невозможность получить в выборке "отмеченных" элементов. Сумма значений , распространенная на все выборочное пространство, равна 1. Если обозначить , то (*) можно переписать в иной форме:

где

Если рпостоянна ц , то имеет место биномиальное приближение

Среднее значение Г. р. не зависит от Nи совпадает со средним пр. соответствующего биномиального распределения Дисперсия Г. р.

не превосходит дисперсии биномиального закона При моменты любого порядка Г. р. стремятся к соответствующим значениям моментов биномиального распределения. Производящая функция Г. р. имеет вид:

Ряд в правой части представляет собой гипергеометрическую функцию где (этому обстоятельству распределение обязано своим названием). Вероятность (*) и соответствующая функция распределения табулированы в широких пределах.

Лит.:[1] Lieberman G. I., Owen D. В., Tables of the Hypergeometric Probability Distribution, Stanford, 1961; [2] Оуэн Д. Б., Сборник статистических таблиц. Обработка таблиц, пер. с англ., М., 1966; [3] Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968. А. В. Прохоров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985