Математическая энциклопедия - гиперэллиптическии интеграл

частный случай абелееа интеграла

где рациональная функция от переменных связанных алгебраич. уравнением частного вида

здесь Р(z) многочлен степени без кратных корней; при получаются эллиптические интегралы, случай иногда наз. ультраэллиптическим.

Уравнению (2) соответствует двулистная компактная рнманова поверхность Fрода если четно, и рода если нечетно; таким образом, в случае Г. и. . На функции а следовательно и , однозначны. Интеграл (1), рассматриваемый Как определенный, задается на Fкак криволинейный интеграл от аналитич. функции, взятый вдоль нек-рого спрямляемого пути L, причем, вообще говоря, задание только начальной и конечной точек пути L не вполне определяет значение интеграла (1).

Как и в общем случае абелевых интегралов, любой Г. и. можно выразить в виде линейной комбинации элементарных функций и канонических Г. и. I, II, III родов, имеющих свой специфич. вид. Так, нормальные Г. и. I рода являются линейными комбинациями Г. и. I рода вида

где простейший базис абелевых дифференциалов 1 рода для случая гиперэллиптич. поверхности F. Явные выражения для абелевых дифференциалов II и III родов и для соответствующих Г. и. также легко выписываются (см. [2]). В основных чертах теория Г. и. совпадает с общей теорией абелевых интегралов.

Все рациональные функции от образуют гиперэллннтическое поле алгеб-раич. функций, соответствующее данному уравнению (2) и имеющее род g. Всякая компактная риманова поверхность рода g= 1 или g= 2 допускает эллиптическое или гиперэллиптич. поле, соответственно. Однако уже при g=3 существуют компактные римановы поверхности Fболее сложной структуры, не обладающие этим свойством.

Лит.:[1] Спрингер Дж., Введение в теорию римановых поверхностей, пер. с англ., М., I960, гл. 10; [2] Неванлинна Р., Униформизация, пер. с нем., М., 1955, гл. 5; [3] Neumann К., Vorlesungen uber Riemanns Theorie der Abeischen Integrate, Lpz., 1884. Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985