Математическая энциклопедия - гиперкомплексное число

элемент конечномерной алгебры с единицей над полем действительных чисел (ранее называвшейся гиперкомплексной системой). Исторически Г. ч. возникли как обобщение комплексных чисел. Действия над комплексными числами соответствуют простейшим геометрия, преобразованиям плоскости (сдвигу, вращению, растяжению и их комбинациям). При попытках построить числа, к-рые играли бы для трехмерного пространства роль комплексных чисел для плоскости, выяснилось, что здесь не может быть полной аналогии; это привело к созданию и развитию теории систем Г. ч.

Гиперкомплексная система ранга пполучается введением умножения в n-мерном действительном пространстве , удовлетворяющего аксиомам алгебры над полем. Пусть 1 единица гиперкомплексной системы и некоторый базис пространства . Г. ч.

из гиперкомплексной системы Uназ. сопряженным Г. ч.

Пусть а енекоторый новый символ. Множество можно превратить в гиперкомплексную систему, определяя сложение формулой

и умножение формулой

Гиперкомплексная система наз. удвоением гиперкомплексной системы .

Примеры гиперкомплексных систем: действительные числа, комплексные числа, кватернионы, Кэли числа (в этом перечне каждая следующая система получается из предыдущей удвоением). Другие примеры системы двойных и дуальных чисел, Г. ч. вида

при n=4, наз. числами Клиффорда Липшица (эти Г. ч. являются элементами Клиффорда алгебр ранга 2ⁿ). Важным примером гиперкомплексных систем являются полные матричные алгебры над .

Иногда в определение системы Г. ч. включают требование ассоциативности умножения или отождествляют понятие алгебры и гиперкомплексной системы.

Лит.:[1] Кантор И. Л., Солодовников А. С., Гиперкомплексные числа, М., 1973; [2] Калужнин Л. А., Введение в общую алгебру, М., 1973. Я. Н. Вильямс.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985