Математическая энциклопедия - гипергеометрическая функция

решение гипергеометрического уравнения

Г. ф. может быть определена с помощью так наз. р я-да Гаусса:

где параметры, принимающие любые действительные или комплексные значения, кроме комплексное переменное, . Функция наз. гипергеометрической функцией 1-го рода. Второе линейно независимое решение пшергеометрич. уравнения (1)

наз. гипергеометр к ческой функцией 2-го рода.

Ряд (2) сходится абсолютно и равномерно при ; сходимость распространяется и на единичную окружность, если при сходится во всех точках единичной окружности, кроме . Однако существует аналптич. продолжение Г. ф. (2) во внешность единичной окружности с разрезом (см. [1]). Функция однозначная аналитическая в комплексной плоскости с разрезом . Если или нуль или целое отрицательное число, то ряд (2) обрывается на конечном числе членов и Г. ф. представляет собой полином относительно z.

При Г. ф. не определена, однако

Элементарные соотношения. Шесть функций

наз. смежными с Г. ф. . Между функцией и любыми двумя смежными с ней существует линейная зависимость. Напр.,

15 формул такого типа впервые были найдены К. Гауссом (С. Gauss, см. [2], [31). Ассоциированные функции , где т, п, lцелые числа, могут быть получены повторными применениями соотношений Гаусса. Имеют место формулы дифференцирования

Уравнение (1) имеет 24 решения вида

где линейные функции и связаны дробно-линейным преобразованием. Любые три решения линейно зависимы (см. [2]). Существуют квадратичные, кубичные и более высокого порядка преобразования (см. [2] [5]).

Основные интегральные представления. Если и то имеет место формула Эйлера:

Разлагая в биномиальный ряд и применяя контурные интегралы для бета-функции, можно получить другие интегральные представления (см. [2]). Интеграл (3) и другие аналогичные формулы, определяющие аналитич. функцию от z, однозначную во всей плоскости z, также могут служить для аналитич. родолжения функции в область Существуют и другие аналнтич. продолжения (см. [1], [2]).