Математическая энциклопедия - гиперболического типа уравнение

численные методы решения методы решения уравнений гииерболпч. типа на основе вычислительных алгоритмов.

Различные математич. модели во многих случаях приводят к дифференциальным уравнениям гиперболич. типа. Такие уравнения имеют точные аиалитич. решения только в редких случаях. Наиболее распространенными являются численные методы. Они находят широкое применение при решениях задач механики сплошной среды и, в частности, уравнений газовой динамики (см. Газовой динамики численные методы), к-рые по своей структуре являются квазилинейными.

Численные методы решения уравнений гиперболического типа можно разделить на две группы: 1) методы с явным выделением особенностей решения; 2) методы сквозного счета, в к-рых особенности решения явно не выделяются, а получаются в процессе счета как области с резким изменением решений.

К первой группе относится, напр., метод характеристик, к-рый используется только для решения уравнений гиперболич. типа (он нашел широкое применение при решении задач газовой динамики).

Методы второй группы дают собственно разностные схемы. Пусть, напр., имеется гиперболич. уравнение

где Аесть -матрица, имеющая различных действительных собственных значений, вектор-функция с компонентами. Матрица Аможет быть либо функцией от и тогда есть линейная гиперболич. система, либо зависеть также от (квазилинейная система). Пусть, в последнем случае, система уравнений (1) приводима к дивергентному виду

где есть вектор-функция от такая, что вектор-функция от В наиболее важном случае зависят только от Для системы уравнений (1) может быть поставлена задача Коши:

с соответствующими краевыми условиями.

Как правило, основой построения разностных схем является аппроксимация соответствующего дифференциальному уравнению интегрального закона сохранения с помощью некоторых квадратурных формул на контуре интегрирования разностной ячейки. В случае гладких решений аппроксимация интегрального закона сохранения равносильна прямой аппроксимации соответствующего дифференциального уравнения. Разностные схемы должны удовлетворять требованиям аппроксимации и устойчивости. Эти требования независимы и в определенном смысле вступают в противо речие одно с другим. Для случая дивергентных систем дифференциальных уравнений существенным является условие дивергентности (или консервативности) разностной схемы. Кроме того, разностные схемы должны удовлетворять еще ряду необходимых требований диссипативности, экономичности и т. д. Двухслойная явная разностная схема для линейного уравнения типа (1) имеет вид:

где финитный оператор, т. е. представляется в виде:

есть -матрицы с коэффициентами, зависящими от шаги разностной сетки по осям tи хсоответственно; числа не зависят от оператор сдвига по х. Условия аппроксимации приводят к соотношениям:

единичная матрица. Неявная разностная схема может быть записана в виде:

где финитные операторы:

есть -матрицы, зависящие от причем оператор содержит по крайней мере две ненулевые матрицы ... Оператор L1 предполагается обратимым, но его обратный не является финитным.

По свойствам аппроксимации разностные схемы можно подразделить на два класса: условно аппроксимирующие и абсолютно аппроксимирующие. Условно аппроксимирующие разностные схемы аппроксимируют исходное дифференциальное уравнение при стремящихся к нулю при нек-рой зависимости между и : Абсолютно аппроксимирующие разностные схемы аппроксимируют исходное дифференциальное уравнение при стремлении к нулю по любому закону.

В случае условной аппроксимации разностное уравнение может аппроксимировать различные дифференциальные уравнения при различных законах предельного перехода. Так, напр., для уравнения

рассмотрим две разностные схемы:

При законе предельного перехода

разностная схема (3) аппроксимирует уравнение (2), а при законе предельного перехода

уравнение

Разностная схема (4) аппроксимирует уравнение (2) абсолютно.

Аналогично, разностные схемы подразделяются на условно устойчивые п абсолютно устойчивые. Так, разностная схема (4) устойчива, если выполнено следующее условие (условие Куранта):

т. е. условно устойчива. С другой стороны, неявная разностная схема

устойчива при любых соотношениях между и , т. е. абсолютно устойчива.

Явные разностные схемы просты в реализации, но являются или условно устойчивыми или условно аппроксимирующими. В случае абсолютно аппроксимирующей разностной схемы условие устойчивости явной схемы имеет, как правило, вид

что приводит к излишне мелкому шагу т и неоправданному увеличению объема вычислений. Абсолютно устойчивые и абсолютно аппроксимирующие схемы находятся только в классе неявных схем.

Неявные разностные схемы более сложны в реализации при переходе с одного временного слоя на другой, но зато шаг может быть выбран сколь угодно большим и тем самым может определяться исключительно требованием точности.

Теоремы сходимости для разностных схем, аппроксимирующих линейные дифференциальные уравнения, позволяют сводить исследование сходимости разностной схемы к исследованию ее устойчивости.

Исследование аппроксимации разностной схемы соответствующего гиперболич. уравнения сравнительно просто в случае гладких решений, носит локальный характер и по существу сводится к разложению в ряд Тейлора; в случае же разрывных решений это сложная задача, сводящаяся к проверке интегральных законов сохранения. Исследование устойчивости является значительно более сложной задачей.

Для разностных схем, аппроксимирующих гиперболич. уравнения с постоянными коэффициентами, устойчивость исследуется методом Фурье, а именно, оценивается норма образа Фурье оператора шага разностной схемы. Так как спектральный радиус матрицы сираза Фурье оператора шага не превосходит нормы матрицы, то отсюда следует необходимый критерий устойчивости: для устойчивости разностной схемы необходимо, чтобы спектральный радиус образа Фурье оператора шага не превосходил величины , где шаг разностной схемы по оси . Это условие является необходимым и для разностных схем с переменными коэффициентами и при ряде дополнительных ограничений является достаточным условием устойчивости разностной схемы. Для исследования устойчивости разностных схем с переменными коэффициентами, а также для нек-рых нелинейных уравнений применяются: метод мажорантных или априорных оценок; локальный алгебраич. метод.

Метод априорных оценок аналогичен соответствующему методу для дифференциальных уравнений, но в разностном случае его реализация встречает большие трудности, что связано со спецификой разностного анализа, в к-ром, в отличие от априорных оценок в теории дифференциальных уравнений, многие соотношения принимают громоздкий вид.

Простейшей мажорантной оценкой является оценка для разностных схем с положительными коэффициентами.

Напр., пусть для уравнения (2) с рассматривается

разностная схема:

Тогда при условии

справедлпва оценка

где

Отсюда следует равномерная устойчивость схемы (5) в пространстве С. Оценка переносится на разностные схемы, аппроксимирующие гиперболич. системы уравнений в инвариантах.

Весьма важный, хотя и ограниченный класс разностных схем составляют разностные схемы с положительными коэффициентами и матрицами (так наз. мажорантные схемы). Если коэффициенты таких разностных схем есть симметричные, положительные матрицы, Липшиц-непрерывные по х, то такие схемы устойчивы в пространстве . Как правило, это разностные схемы первого порядка аппроксимации, в к-рых производные аппроксимируются односторонними разностями. При аппроксимациях более высокого порядка, когда берутся центральные разности, как правило, положительные коэффициенты не получаются. В этом случае используют априорные оценки более общего типа в пространствах .

Пусть, напр., (1) система уравнений акустики, где

причем функции периодичны по x с периодом 2p. Априорная оценка для разностной схемы

имеет вид