Математическая энциклопедия - гипергеометрическое уравнение

уравнение Гаусса,линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка

или, в самосопряженной форме,

Переменные и параметры в общем случае могут принимать любые комплексные значения. После подстановки

получается приведенная форма уравнения (1):

где

Уравнение (1) подробно изучал К. Гаусс [1] в связи с развитой им теорией гипергеометрических рядов, но еще раньше это уравнение (и его решение) рассматривал Л. Эйлер (L. Euler).

Решения уравнения (1) выражаются через гипергеометрическую функцию .

Если g не равно целому числу, то общее решение уравнения (1) можно записать в виде

где произвольные постоянные; представление (3) справедливо в комплексной плоскости z с разрезами В частности, в действительном случае формула (3) дает общее решение уравнения (1) на интервале Для целых значений общее решение имеет более сложный вид (возможно существование членов, содержащих логарифмы).

В качестве фундаментальной системы решений уравнения (1) можно выбирать и иные функции, отличные от указанных в (3). Напр., если не равно целому числу, то

есть общее решение уравнения (1) в комплексной плоскости zс разрезом (см. [2], [3]).

Г. у. включает как частные случаи ряд дифференциальных уравнений, встречающихся в приложениях; многие линейные обыкновенные дифференциальные уравнения 2-го порядка преобразованием неизвестной функции и независимой переменной приводятся к уравнению (1) (см. [4]). Особенно большое значение имеет близкое уравнению (1) вырожденное гипергеометрическое уравнение. Отношение s(z) двух линейно независимых решений уравнения (2) удовлетворяет Шварца уравнению, тесно связанному с задачей конформного отображения полуплоскости на треугольник, ограниченный тремя дугами окружностей. Изучение обратной функции z(s).приводит к понятию автоморфной функции (см. [5]).

Имеются линейные уравнения высших порядков, свойства решений к-рых аналогичны свойствам гипергеометрич. функции: решение уравнения -го порядка

есть обобщенная гипергеометрическая функция содержащая параметров. В частности, обобщенное Г. у. 3-го порядка, имеющее решение можно представить в форме

Лит.:[1] Gauss С., "Comm. recentiores Soc. Gottingen", 1812. Bd 2; [2] Кратцер А., Франц В., Трансцендентные функции, пер. с нем., М., 1963; [3] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра, пер. с англ., 2 изд., М., 1973; [4] Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976; [5] Голубев В. В., Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, 2 изд., М.-Л., 1950. Н.