Математическая энциклопедия - гиперболическая метрика

гиперболическая мера,метрика в области комплексной плоскости, обладающей по крайней мере тремя граничными точками, инвариантная относительно автоморфизмов этой области.

Гиперболическая метрика в круге Е :. определяется линейным элементом

где линейный элемент евклидовой длины. Введение Г. м. в круге Еприводит к модели Лобачевского геометрии. Роль прямых в данной модели играют дуги евклидовых окружностей, ортогональных к лежащие в Е;роль бесконечно удаленной точки играет окружность . Движениями в ней служат дробно-линейные преобразования круга Ена себя. Гиперболическая длина кривой L, лежащей в круге Е, определяется формулой

Гиперболическое расстояние между точками и круга Еравно

Множество точек круга Е, гиперболич. расстояние к-рых от данной точки не превосходит заданного числа т. е. гиперболический круг в Ес гиперболич. центром в точке и гиперболич. радиусом R, является евклидовым кругом с центром, отличным от при

Гиперболическая площадь области В, лежащей в Е, определяется формулой

Величины и инвариантны относительно дробно-линейных преобразований круга Ена себя.

Гиперболическая метрика в любой области Dплоскости г, имеющей не менее трех граничных точек, определяется как перенесенная в Dпри конформном отображении области Dна круг Е: гиперболич. метрика круга Е:ее линейный элемент определяется формулой

Область, имеющую не более двух граничных точек, уже нельзя конформно отобразить на круг. Величина

наз. плотностью Г. м. области D. Гиперболич. метрика области Dне зависит ни от выбора отображающей функции, ни от выбора ее ветви и вполне определяется областью Dи положением точек в D. Гиперболич. длина кривой L, лежащей в D, находится по формуле

Гиперболическое расстояние между точками и области Dравно

где любая функция, конформно отображающая Dна круг Е. Гиперболическим кругом в области D, как и в случае круга , наз. множество точек области D, гиперболич. расстояние к-рых от данной точки области D (гиперболич. центра) не превосходит заданного положительного числа (гиперболич. радиуса). Если область Dмногосвязна, гиперболич. круг в Dесть, вообще говоря, многосвязная область. Гиперболическая площадь области В, лежащей в D, находится по формуле

Величины являются инвариантами относительно конформных отображений области D(одно из основных свойств Г. м. в D).

Лит.:[1] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [2] Стойлов С., Теория функций комплексного переменного, пер. с рум., т. 1-2, М., 1962. Г. В. Кузьмина.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985