Математическая энциклопедия - гиперболическое множество

гладкой динамической системы {S^t} компактное подмножество Fфазового многообразия М, целиком состоящее из траекторий, в окрестности каждой из к-рых поведение (по отношению к ней) всех соседних траекторий (включая и те, к-рые не лежат в F).напоминает поведение траекторий возле седла. Точнее, Г. м. гладкой динамич. системы это такое компактное инвариантное подмножество Fфазового многообразия М, что в каждой точке в касательном пространстве к Мимеются подпространства и , для к-рых выполняются следующие два условия. 1) Действие дифференциалов отображений в точке на векторы удовлетворяет неравенствам (см. Дифференцирование отображений).

с нек-рыми константами не зависящими от х.2) Если каскад (т. е. время принимает целочисленные значения), то а если -поток, то где одномерное подпространство, натянутое на вектор фазовой скорости (тем самым предполагается, что последний нигде на Fне обращается в нуль). Кроме того, для удобства нек-рых формулировок бывает целесообразно причислить к Г. м. такие положения равновесия потоков, для к-рых собственные значения матрицы линеаризованной системы расположены вне мнимой оси.

Подпространство наз. устойчивым, неустойчивым, нейтральным. Точки , для к-рых неограниченно сближается с при , образуют нек-рое гладкое многообразие , касающееся в точке ; оно наз. устойчивым многообразием точки х. Объединение для всех х, лежащих на одной траектории, наз. устойчивым многообразием этой траектории. Аналогично вводятся неустойчивые многообразия точки и траектории.

Классич. пример Г. м. потока периодич. траектория, для к-рой лишь один мультипликатор уравнения в вариациях равен по модулю единице. У нек-рых систем все фазовое пространство является Г. м. (см. У-система). Много примеров Г. м. было обнаружено при изучении динамич. систем классич. происхождения (напр., в небесной механике, см. [1]). В общем виде

Г. м. были введены С. Смейлом (§. Smale) в 1965 (см. [2]), и с тех пор они играют важную роль в теории гладких динамич. систем, будучи как объектом исследования, так и составной частью многих примеров (см. также [3]).

Лит.:[1] Кушниренко А. Г., Каток А. Б., Алексеев В. М., Гладкие динамические системы, в кн.: Девятая летняя матем. школа, К., 1972, с. 50-341; [2] Смейл С., "Успехи матем. наук", 1970, т. 25, в. 1, с. 113-85; [3] Нитецки 3., Введение в дифференциальную динамику, пер. с англ., М., 1975. Д. В. Аносов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985