Математическая энциклопедия - интегральное исчисление

раздел математики, в к-ром изучаются понятия интеграла, его свойства и методы вычислений. И. и. непрерывно связано с дифференциальным исчислением и составляет вместе с ним основу математич. анализа. Истоки И. и. относятся к античному периоду развития математики и связаны с исчерпывания методом, разработанным математиками Древней Греции. Этот метод возник при решении задач на вычисление площадей плоских фигур и поверхностей, объемов тел, нек-рых задач статики и гидродинамики. Он основан на аппроксимации рассматриваемых объектов ступенчатыми фигурами или телами, составленными из простейших фигур или пространственных тел (прямоугольников, параллелепипедов, цилиндров и т. п.). В этом смысле метод исчерпывания можно рассматривать как античный интегральный метод. Наибольшее развитие метод исчерпывания в древнюю эпоху получил в работах Евдокса (4 в. до н. э.) и особенно Архимеда (3 в. до н. э.). Дальнейшее его применение и совершенствование связано с именами многих ученых 15 17 вв.

Основные понятия и теория интегрального и дифференциального исчислений, прежде всего связь операций дифференцирования и интегрирования, а также их применения к решению прикладных задач, были разработаны в трудах И. Ньютона (I. Newton) н Г. Лейбница (G. Leibniz) в конце 17 в. Их исследования явились началом интенсивного развития математич. анализа. Существенную роль в его создании в 18 в. сыграли работы Л. Эйлера (L. Euler), Я. и И. Бернулли (Jacob, Johann Bernoulli), Ж. Лагранжа (J. Lagrange). В 19 в. в связи с появлением понятия предела И. и, приобрело логически завершенную форму [работы О. Коши (А. Саuchy), Б. Римана (В. Riemann) и др. Разработка теории и методов И. и. происходила в конце 19 в. и в 20 в. одновременно с исследованиями по теории меры, играющей существенную роль в И. и.

С помощью И. и. стало возможным решать единым методом многие теоретич. и прикладные задачи, как новые, к-рые ранее не поддавались решению, так и старые, требовавшие прежде специальных искусственных приемов. Основными понятиями И. и. являются два тесно связанных понятия интеграла: неопределенного и определенного.

Неопределенный интеграл от данной действительной функции на нек-ром промежутке определяется как совокупность всех ее первообразных на этом промежутке, т. е. функций, производные к-рых совпадают с заданной функцией. Неопределенный интеграл от функции f(x)обозначается через Если F(x)какая-либо первообразная функцияf(x), то любая другая ее первообразная имеет вид F(x)+C, где Спроизвольная постоянная, поэтому пишут

Операция нахождения неопределенного интеграла наз. интегрированием. Интегрирование является операцией, обратной к операций дифференцирования:

Операция интегрирования линейна: если на нек-ром промежутке существуют неопределенные интегралы

то для любых действительных чисел l1 и l2 на том же промежутке существует интеграл

Для неопределенных интегралов справедлива формула интегрирования по частям:если функции и(х)и v(x). дифференцируемы на нек-ром промежутке и интеграл существует, то существует и интеграл причем имеет место равенство

Справедлива формула замены переменного: если для функций f(x)и x=j(t), определенных на нек-рых промежутках, имеет смысл сложная функция f[j(t)], функция j(t)дифференцируема и существует интеграл то существует и интеграл

(см. Интегрирование подстановкой).

Всякая непрерывная на нек-ром промежутке функция имеет на нем первообразную и, следовательно, для нее существует неопределенный интеграл. Задача фактического нахождения неопределенного интеграла от конкретно заданной функции осложняется тем, что неопределенный интеграл от элементарной функции не является, вообще говоря, элементарной функцией. Известны многие классы функций, для к-рых оказывается возможным выразить их неопределенные интегралы через элементарные функции. Простейшими примерами этого являются интегралы, к-рые получаются из таблицы производных основных элементарных функций (см. Дифференциальное исчисление):

Если знаменатель подинтегральной функции обращается в нуль в нек-рой точке, то написанные формулы справедливы лишь для тех промежутков, в к-рых не происходит обращения в нуль указанного знаменателя (см. формулы 1, 2, 6, 7, 11, 13, 15).

Неопределенный интеграл от рациональной функции на всяком промежутке, на к-ром знаменатель не обращается в нуль, является суперпозицией рациональных функций, арктангенсов и натуральных логарифмов. Нахождение алгебраич. части неопределенного интеграла от рациональной функции может быть осуществлено Остроградского методом. К интегрированию рациональных функций с помощью подстановок сводятся, напр., интегралы вида

где r1, r2,..., rmрациональные числа, интегралы вида

(см. Эйлера подстановки), нек-рые случаи интегралов от дифференциальных биномов, интегралы вида

(здесь везде R(y1, y2, ..., у п)рациональные функции), интегралы

и мн. др. Вместе с тем, напр., интегралы

не выражаются через элементарные функции. Определенным интегралом

от функции f(x), заданной на отрезке [ а, b], наз. предел интегральных сумм определенного вида (см. Коши интеграл, Римана интеграл, Лебега интеграл, Колмогорова интеграл, Стилтъеса интеграл и т. д.). Если этот предел существует, функцию f(x)наз. интегрируемой соответственно по Коши, по Риману, по Лебегу и т. д.

Геометрич. смысл интеграла связан ⁴ с понятием площади: если функция непрерывна на отрезке [а, b], то значение интеграла

равно площади криволинейной трапеции, образованной графиком функции f(x), т. е. множеством, граница к-рого состоит из графика функции f(x),. отрезка [ а, b]и двух отрезков прямых х=а и x=b, к-рые могут вырождаться в точки. К задаче вычисления предела интегральных сумм, т. е. нахождению определенного интеграла, сводится вычисление многих встречающихся на практике величин: площадей фигур и поверхностей, объемов тел, работы силы, координат центра тяжести, значений моментов инерции различных тел и т.. п.

Определенный интеграл обладает свойством линейности: если функции f1 (х)и f2 (х)интегрируемы на отрезке [ а, b], то для произвольных действительных чисел l1 и l2 функция также интегрируема на отрезке и

Интегрируемость функции на отрезке обладает свойством монотонности: если функция f(х)интегрируема на отрезке [ а, b]и то функция f(х)интегрируема и на отрезке [ с, d]. Справедливо свойство аддитивности интеграла относительно отрезков, по к-рым происходит интегрирование: если а<с<b и функция f(x)интегрируема на отрезках [ а, с]и [ с, b], то она интегрируема и на отрезке [ а, b], причем

Если функции f(x)и g(x)интегрируемы, то их произведение также интегрируемо. Если на [ а, b], то

Если функция f(x)интегрируема на [ а, b], то ее абсолютная величина |f(x)|также интегрируема на [ а, b]и

По определению полагают

Для определенных интегралов справедливы теоремы о среднем. Напр., если f(x)и g(x)интегрируемы на отрезке [ а, b],и функция g(x)не меняет знака на отрезке [ а, b], т. е. либо неотрицательна, либо неположительна на этом отрезке, то существует такое число что

При дополнительном предположении непрерывности на отрезке [ а, b]функции f(x)на интервале ( а, b )существует такая точка x, что

В частности, если g(x)=A, то

Интегралы с переменным верхним пределом. Если функция f(x)интегрируема по Риману на отрезке [ а, b], то функция

непрерывна на этом отрезке. Если, кроме того, функция f(x)непрерывна в точке х 0, то функция F(x)дифференцируема в этой точке и F'(x0) = f(x0). Иначе говоря, в точках непрерывности функции справедлива формула