Математическая энциклопедия - интегральное представление аналитической функции

представление аналитич. функции в виде интеграла, зависящего от параметра. И. п. а. ф. возникли на ранних стадиях развития теории функций и математич. анализа вообще как удобный аппарат для обозримого представления аналитич. решений дифференциальных уравнений, для исследования асимптотики этих решений и их аналитич. родолжения. Несколько позже И. п. а. ф. нашли применения для решения граничных задач теории аналитических функций и сингулярных интегральных уравнений, исследования внутренних и граничных свойств аналитических функций различных классов, а также для решения других, самых разнообразных вопросов математич. анализа. В процессе развития теории функций изучение свойств отдельных, наиболее важных, типов И. п. а. ф. обособлялось в виде самостоятельных глав теории функций (см., напр., Коши интеграл, Пуассона интеграл, Шварца интеграл).

Обширный класс И. п. а. ф., используемых для получения и исследования аналитич. решений дифференциальных уравнений, описывается общей формулой:

где K(z,z)ядро интегрального представления, v(z)плотность и Lконтур (или система контуров) в совмещенной плоскости комплексных переменных z, z. Целесообразное и, по возможности, наиболее простое решение трех взаимосвязанных вопросов о выборе ядра К, плотности vи контура Lдля представления данной функции f(z) (или данного класса функций) является определяющим с точки зрения успешного применения метода И. п. а. ф. При этом свойства представления (1), в первую очередь, существенно зависят от того, является ли ядро К(z, x) целой функцией комплексных переменных z, z, или же ядро K(z,z)сингулярное, т. е. имеет те или иные особенности. Вообще говоря, ядро И. п. а. ф. не обязательно является аналитич. функцией переменных z, z,аналитичность функции f(z) может обеспечиваться за счет специфич. свойств плотности. Формула (1) как формула простого однократного интегрирования также, вообще говоря, не обязательна имеются типы И. п. а. ф., в к-рых используются повторные интегралы.

Общая схема получения интегральных представлений специальных функций f(z), являющихся решениями нек-рого обыкновенного дифференциального уравнения xz[f](z)=0, сводится в основном к следующему. За счет целесообразного выбора, чаще всего несингулярного, ядра Кдолжна оказаться осуществимой следующая переброска действия оператора xz:

т. е. ядро должно, в первую очередь, удовлетворять по возможности простому уравнению с частными производными допускающему последующее интегрирование по частям с целью восстановления первоначального вида ядра под интегралом и переброску действия получающегося при этом сопряженного оператора на плотность v. Получив формулу вида (2), подбирают достаточно простую плотность v, удовлетворяющую сопряженному уравнению и контур L, обеспечивающий обращение в нуль обинтегрированного члена P[v, К]. При этом необходимо иметь в виду, что выбор контура Lопределяет частное решение исходного уравнения Наибольшее применение находят ядра:

иногда называемые соответственно ядром Лапласа Фурье, ядром Меллина и ядром Эйлера. Различные замены переменных приводят к видоизмененным формам ядер. В описанном виде получение И. п. а. ф. самым тесным образом связано с методом интегральных преобразований.

Таким путем, напр., получается известное интегральное представление функций Бесселя:

где контур Lимеет вид восьмерки, охватывающей точки 1 и +1. Представление (3) характерно, с одной стороны, тем, что его плотность и(z)=(z²-1) ^р-1/2 гораздо проще, чем представляемые трансцендентные функции Jp(z), а с другой стороны тем, что оно позволяет довольно просто обозреть свойства функций Jp(z)и, в частности, изучить их асимптотику.

Целесообразное изменение контура Lпозволяет осуществить аналитич. родолжение, т. е., иными словами, позволяет получить И. п. а. ф., пригодное во всей ее области существования. Напр., интеграл Эйлера второго рода:

представляет гамма-функцию Г (z) при Rez>0, а если выбрать контур интегрирования L1 в виде петли (рис. 1), то получается интегральное представление

пригодное для всех z, кроме точек z=-1, -2, ..., в к-рых Г(z) имеет простые полюсы. Аналогично, анали-

тич. продолжение интеграла Эйлера первого рода: выражающего бета-функцию В (z, w)при Re z>0, Re w>0, осуществляется путем перехода к контуру интегрирования в виде двойной петли L2 (рис. 2).

Изучались интегральные представления специальных функций (см. [1], [2]); интегральные представления весьма обширных классов функций в связи с интегральными преобразованиями [7].

Универсальный характер в теории аналитич. функций имеют сингулярное ядро Коши

и соответствующее И. п. а. ф.Коши интеграл:

Это И. п. а. ф. выражает значения однозначной аналитич. функции f(z)в области D, ограниченной простым замкнутым контуром L(или системой таких контуров), напр., в случае, когда функция f(z) непрерывна в замкнутой области в дополнительной области CD, интеграл из правой части (4) тождественно обращается в нуль. Фундаментальная роль представления (4) в теории аналитич. функций обусловливается тем, что интеграл Коши есть свертка f(z) с фундаментальным решением 1/2piz оператора Коши Римана

поэтому из представления (4) получаются все основные свойства аналитич. функций. С точки зрения общих свойств И. п. а. ф. интеграл Коши выделяется особенно простой структурой ядра и тем, что плотность v(z)=f(z) совпадает со значениями представляемой функции на контуре L. Это последнее свойство остается в силе, если под интегралом (4) заменить ядро Коши на любую однозначную аналитическую по z в замкнутой области Dфункцию K(z,z), имеющую в точке z=z простой полюс с вычетом 1. Среди таких функций K(z,z) ядро Коши наиболее простое, но указанная свобода выбора ядра в интеграле Коши часто используется при решении граничных задач.

Совпадение плотности v(z) с граничными значениями f(z) аналитич. функции f(z)в сущности есть лишь форма выражения свойства аналитичности. При использовании интегрального представления (4) с априори произвольно заданной плотностью v(z)получается интеграл типа Коши, в к-ром связь плотности с граничными значениями выражается гораздо сложнее через сингулярный интеграл по контуру L.

В граничных задачах теории аналитич. функций для решения сингулярных интегральных уравнений роль интегралов типа Коши и их модификаций исключительно важна (см. [5], [6]).

При исследовании внутренних и граничных свойств аналитич. функций различных классов применяются более общие И. п. а. ф., чем (1), в виде зависящих от параметра интегралов

по борелевской граничной мере m, вообще говоря комплексной, сосредоточенной на ограничивающем область Dконтуре Lи выражающейся при помощи той или иной процедуры через представляемую функцию f(z).

Напр., все функции f(z), регулярные в единичном круге D={z;|z|<l} и имеющие положительную действительную часть, Ref(z)>0, характеризуются представимостью по формуле Герглотца: