Математическая энциклопедия - конечномерная ассоциативная алгебра

ассоциативное кольцо А, являющееся одновременно конечномерным векторным пространством над полем F, в к-ром выполняется следующее условие

для всех и Размерность пространства Анад полем Fназ. размерностью алгебры Анад F. Принято также говорить, что алгебра Аявляется n-мерной. Всякая n-мерная ассоциативная алгебра Анад полем Fимеет точное представление матрицами порядка n+1 над F, т. е. существует изоморфизм алгебры Ана нек-рую подалгебру алгебры всех квадратных матриц порядка над F. Если, кроме того, алгебра Асодержит единицу, то она имеет точное представление матрицами порядка пнад F.

Пусть е г, . .. , е пнекоторый базис векторного пространства Анад F(он наз. также базисом алгебры А)и

Элементы поля Fназ. структурными константами алгебры Ав данном базисе. Они образуют тензор третьего ранга в пространстве А.

Основные теоремы о К. а. а. Радикал: Джекобсона К. а. а. нильпотентен и, если основное поле сепарабельно, отщепляется полупрямым слагаемым (см. Веддерберна Мальцева теорема). Полупростая К. а. а. над полем разлагается в прямую сумму магричных алгебр над телами. Если основное поле Fалгебраически замкнуто, то полупростая К. а. а. распадается в прямую сумму матричных алгебр над F. Простые конечномерные алгебры исчерпываются полными матричными алгебрами над телами (теорема Веддерберна). В частности, К. а. а. без делителей нуля оказывается телом. Над полем действительных чисел К. а. а. с делением (т. е. тела) исчерпываются следующими примерами: поле действительных чисел, поле комплексных чисел, тело кватернионов (теорема Фробениуса).

Многие из упомянутых структурных свойств К. а. а. имеют место и в более широких классах нётеровых и артиновых колец (см., напр., Веддерберна Артина. теорема).

Лит.:[1] Ван дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976; [2] Аlbert A. A., Structure of algebras, N. Y., 1939.

В.