Математическая энциклопедия - конечности теоремы

1) К. т. в алгебраической геометрии утверждения о различных объектах алгебраич. геометрии (пространствах когомологий, алгебраич. многообразиях, схемах, расслоениях и т. п.), состоящие в том, что эти объекты зависят от конечного числа параметров или же образуют конечное множество.

Первый круг теорем конечности относится к пространствам когомологий когерентных алгебраич. пучков. Фундаментальная теорема состоит в том, что эти пространства конечномерны над основным полем k, если многообразие собственно (для k=С это свойство равносильно компактности) (см. [2]). В рамках теории схем были получены весьма широкие обобщения этой теоремы. Одно из них обобщает данную теорему на случай собственных морфизмов схем и утверждает, что прямой образ когерентного пучка относительно такого отображения когерентен (см. [3], [4]). Другое обобщение относится к изучению когомологпй несобственных многообразий. Оказывается, что если рассматриваемое многообразие Xполучается выбрасыванием нек-рого подмногообразия Yиз собственного многообразия, то можно оценить те размерности, в к-рых группы когомологий конечномерны. Эти оценки зависят от коразмерности многообразия Yи свойств его особых точек (см. [5], [6]). Известны также соответствующие К. т. для этальных когомологий.

Другой круг К. т. относится к подсхемам п, более общо, когерентным пучкам на фиксированной собственной схеме. Эти объекты могут быть параметризованы в весьма широкой ситуации Гильберта схемами (или для обратимых пучков Пикара схемами). Наиболее общая из таких К. т. утверждает, что эти схемы квазипроективны, если ограничиться подсхемами пли пучками с одним и тем же Гильберта многочленом[4]. Ее частным случаем является тот факт, и что алгебраич. подмногообразия данной степени в проективном пространстве зависят от конечного числа параметров, а также теорема о конечности базиса Нерона Севери группы.

Эти теоремы находят применение в целом ряде проблем конечности, возникающих в диофантовой геометрии. Среди таких проблем: вопрос о конечности множества рациональных точек алгебраич. многообразия, определенного над глобальным полем (многомерный аналог гипотезы Морделла), гипотеза Шафаревича о конечности числа алгебраич. кривых, определенных над данным глобальным полем и с фиксированными вырождениями, вопрос о конечной порожденности группы рациональных точек алгебраич. группы.

Лит.:[1] Serrе J.-P., "J. math, pures et appl.", 1957, t. 36, № 5, p. 1 16; [2] Расслоение пространства и их приложения, М., 1958, с. 372-450; [3] Grot hen dieck A., Elements de geometrie algebrique, ch. 3, pt 2, P., 1963 (Publ. Math. IHES, №17); [4] eго же, Fondements de geometrie algebrique, P., 1962; [5] Hartshоrne R., Ample Subvarieties of Algebraic Varieties, В.-Hdlb.-N. Y., 1970; [6] Ogus A., "Ann. Math.", 1973, v. 98, № 5 2, p. 327-65; [7] Шафарeвич И. Р., в кн.: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Stockh., 1962, p. 163-76; [8] Аракелов С. Ю., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1971, т. 35, № 6 с. 1269 93.

А. Н. Паршин.

2) К. т. в теории аналитических пространств критерии конечномерности групп когомологий со значениями в когерентных аналитических пучках. Первой общей теоремой такого рода явилась теорема конечности Картана Серра [1]: если Xкомпактное комплексное пространство и когерентный аналитич. учок на X, то пространства когомологий конечномерны и отделимы для всех Обобщение этой теоремы на случай выпукло-вогнутых пространств [2], [3] утверждает: если Xсильно (р, q)-выпукло-вогнутое пространство (см. Псевдовыпуклость и псевдовогнутость). и когерентный аналитич. учок на X, то конечномерны при и отделимы при а конечномерны при q+l kprof F-ри отделимы при

К К. т. относят также обобщения указанных выше теорем на относительный случай, т. е. критерии когерентности прямых образов когерентных аналитнч. пучков при аналитпч. отображениях. Обобщением теоремы Картана Серра является следующая теорема Грауэрта [4], [5]: если л:собственное аналитич. отображение комплексных пространств и Fкогерентный аналитич. учок на X, то прямые образы когерентны при всех Это свойство оказывается и достаточным для собственности отображения л. Аналогичные К. т. доказаны для сильно р- выпуклых и сильно q-вогнутых отображений (см. [6]). Аналог теоремы Грауэрта доказан также для жестких аналитических пространств над полем с неархимедовым нормированием [7].

С К. т. тесно связаны теоремы об оценке степени трансцендентности поля мероморфных функций на различных классах комплексных пространств (см. Зигеля теорема). Простым следствием теоремы Грауэрта является следующая теорема Реммерта [4]: если p: X->Yсобственное аналитич. отображение комплексных пространств п Zаналнтнч. множество в X, то множество p(Z) аналитично в Y. Эта теорема переносится и на случай жестких пространств [7].

Лит.:[1] Саrtan H., Serre J.-P., "С. r. Acad. sci.", 1953, t. 237, p. 128-30; [2] Андреотти А., Грауэрт Г., в кн.: Комплексные пространства, М., 1965, с. 105-89, пер. с франц.; [3] Ramis J. P., "Ann. Scuola norm, super. Pisa. Sci. fis. e mat.", 1973, ser. 3, t. 27, № 4, p. 933-97; [4] Грayэрт Г., в кн.: Комплексные пространства, М., 1965, с. 205299, пер. с нем.; [5] Вaniса С, Stanasilа О., Metode algebrice In teoria globala a spafiilor complexe, Buc, 1974; [61 Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 15, М., 1977 с 93-171; [7] Кiehl R., "Invent, math.", 1967, Bd 2, № 3 S. 191 214.

А. Л. Онищик.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985