Математическая энциклопедия - конструктивное по гёделю множество

множество, возникающее в описанном ниже процессе построения множеств. Пусть Xмножество и X. Рассмотрим язык 1-й ступени L(R, X), содержащий один 2-местный предикатный символ, обозначающий отношение R, и индивидные константы, обозначающие элементы множества X(для каждого своя константа Суждение "формула j языка L(R, X )истинна в модели М=( Х, R)"записывается следующим образом:

Множество наз. определимым в модели М=( Х, R )(иначе М-о пределимым), если существует формула j(v)языка L(R, X )с одной свободной переменной vтакая, что

Пусть Def Mобозначает множество всех М-определи-мых множеств. Каждому ординальному числу a сопоставим множество La, определяемое рекурсивным соот-пошеннем: где есть отношение принадлежности, ограниченное множеством Lb. Отсюда следует:

Множество г наз. конструктивным, если существует ординал aтакой, что zОLa. Класс всех конструктивных множеств обозначается через L. К. Гёдель (К. Godel) ввел следующую аксиому конструктивности: всякое множество конструктивно. Он доказал, что в классе Lвыполняются все аксиомы системы ZF, а также аксиома конструктивности, и что аксиома выбора и обобщенная континуум-гипотеза ("для всякого ординала а имеет место =") следуют в ZF из аксиомы конструктивности.

Класс Lможно охарактеризовать также как наименьший класс, являющийся моделью ZF и содержащий все ординальные числа; имеются н другие определения класса L(см. [2] [4]). Отношение можно выразить формулой языка ZF и притом простой синтаксической структуры (так наз. -формулой, см. [4]).

Среди результатов, относящихся к К. м., упомянем следующие. Множество конструктивных действительных чисел, т. е. множество где Rмножество всех действительных чисел, т. е. последовательностей нулей и единиц, является А 2 -множеством (см. [5]). Было показано, что из аксиомы конструктивности вытекает существование неизмеримого по Лебегу множества действительных чисел типа А 2 (см. [6]), отрицание Суслина гипотеза и несуществование измеримого кардинала (см. [2]).

Лит.:[1] Гёдель К., "Успехи матем. наук", 1948, т. 3, вып. 1, с. 96-149; [2] Йех Т., Теория множеств и метод форсинга, пер. с англ., М., 1973; [3] Мостовский А., Конструктивные множества и их применения, пер. с англ., М., 1973; [4] Каrр С, A proof of the relative consistency of the continuum Hypothesis, в кн.: Sets models and recursion theory, Amsterdam, 1967; [5] Addison J. W., "Fund. Math.", 1959, v. 46, № 3, p. 337-57: [6] Hовиков П. С, "Тр. матем. ин-та АН СССР", 1951, т. 38, с. 279-316; [7] Fеlgnеr U., Models of ZF-Set theory, В.-Hdlb,-N.Y., 1971 (Lect. notes in mathematics, v. 223).

В. Н. Гришин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985