Математическая энциклопедия - контактные задачи теории упругости

задачи распределения деформации и напряжения в системе твердых тел, имеющих общие участки границ (поверхности соприкосновения). В общей постановке результаты по контактной задаче (к. з.) ограничиваются теоремами существования и нек-рыми приближенными способами решения. Более полные результаты относятся к тому случаю, когда одно из контактирующих тел является упругой полуплоскостью (или полупространством), а другое абсолютно жестким телом, вдавливаемым в полуплоскость (полупространство) заданными силами (задачи о штампах). Вне основания штампа, приходящего в соприкосновение с упругим телом, на границе последнего граничные условия могут задаваться, из числа допустимых, произвольно, а на участке под штампом граничные условия формулируются в зависимости от характера контакта. Так, если упругое тело жестко сцеплено с прижимаемым к нему твердым телом, под штампом могут считаться заданными перемещения; если же допускается скольжение упругого тела по контактной поверхности жесткого штампа, то под штампом известны нормальная составляющая перемещения и нек-рое линейное соотношение между нормальным и касательным напряжением, зависящее от коэффициента трения (закон Кулона). Могут реализоваться и другие граничные условия. Все случаи упругого полупространства (полуплоскости) приводят к смешанной задаче с различными граничными условиями на различных участках границы. Развитие методов решения этих задач, включая тот случаи, когда оба контактирующих тела являются упругими, составляет содержание работ, посвященных задачам о штампах. Эти методы близки друг другу и в плоской задаче, в конечном счете, сводятся к методу сопряжения кусочно голоморфных функций (метод задачи Римана Гильберта), с помощью к-рого к. з. решаются в квадратурах. Задача о соприкосновении двух упругих тел в трехмерном случае была впервые поставлена и решена Г. Герцем (Н. Hertz), к-рый считал площадку соприкосновения весьма малой, а уравнения недеформированных поверхностей вблизи места соприкосновения уравнениями поверхностей 2-го порядка. При этом оказалось возможным воспользоваться одной Электростали, аналогией, и функция, выражающая давление на участке контакта, была найдена в виде электростатич. потенциала нек-рого эллипсоида. В плоском случае задача Герца приводится к уравнению Фредгольма 1-го рода

где p(t)искомое давление одного тела на другое в точке tучастка соприкосновения ab,a f(t).заданная функция; эта же задача приводится к разрешимому в замкнутом виде сингулярному интегральному уравнению.

В общей постановке к. з. формулируются следующим образом.

Задача I. Пусть в бесконечном изотропном упругом теле с постоянными Ламе l0, m0 имеются тупругих изотропных изолированных включений с постоянными lk,mk, k=l, ... , т, ограниченных гладкими поверхностями Sk произвольной конфигурации. Считая включения жестко сцепленными с основной средой вдоль контактных поверхностей Sk, требуется определить напряженное состояние тела под влиянием заданных объемных сил.

Задача II. В конечном изотропном упругом теле с произвольной гладкой границей S0 и постоянными l0, m0 имеется тупругих изотропных изолированных включений, ограниченных поверхностями Sk, k=1,... . т, жестко сцепленных с несущей средой вдоль Sk. Требуется найти упругое состояние тела, возникающее под действием заданных объемных сил и заданных граничных условий на S0.

Эти же задачи ставятся для анизотропных тел, а также при других допущениях относительно характера контактов вдоль Sk,k=l, ... , т. Для указанных задач доказаны теоремы существования, в изотропном случае методом сингулярных потенциалов и сингулярных интегральных уравнении, для анизотропных тел методами функционального анализа.

В изотропном случае найдены также способы приближенного решения в квадратурах. Пусть х, уточки трехмерного пространства Е 3, Dkобласть, ограниченная поверхностью = Г ^k(x-у)матрица размера фундаментальных решений для области Dk,k=1, ... , т, Г ⁰ (х-у).та же матрица для области D^-, и(х)вектор смещения в точке х, Топератор напряжения, Ти (х)вектор напряжения, соответствующий смещению ив точке х, p=1, 2, 3,вектор напряжения, соответствующий смещению в области Dk для ТГ ^k (х-у)матрица размера составленная из р=1, 2, 3, как из столбцов, (ТГ ^k(x-у))'союзная матрица; М ^k( х, у )и М ⁰( х, у)прямоугольные матрицы размера определенные следующим образом

Задача I, без ограничения общности, есть задача об определении смещения из условий

Пусть значения пределов с обеих сторон контактных границ для и(х)и Ти (х)обозначены через и(у), Ти (у),

тогда для регулярного решения:

где