Математическая энциклопедия - квадратичный дифференциал

на римановой поверхности R правило, которое каждому локальному параметру z, отображающему параметрич. окрестность в замкнутую комплексную

плоскость ставит в соответствие функцию Qz :такую, что для всяких локальных параметров z1 :и z2 :с непустым пересечением в последнем выполнено соотношение

здесь z(U)образ Uв при отображении z. К. д. часто обозначается символом Q(z)dz², к-рому приписывается указанная инвариантность относительно выбора локального параметра z. Иначе говоря, К. д.это нелинейный дифференциал типа (2,0) на римановой поверхности.

Функции входящие в определение К. д., обычно предполагаются измеримыми или даже аналитическими. В последнем случае К. д. наз. аналитическим. Точка наз. нулем или полюсом порядка кдифференциала Q(z)dz², если для каждого локального параметра z функция имеет в рсоответственно нуль или полюс порядка k. Нули и полюсы К. д. наз. его критическими точками. Нули и простые полюсы наз. конечными критич. точками, и их совокупность обозначают С. Множество всех полюсов порядка обозначают Н.

Если кривая имеет в каждой своей точке qотносительно локального параметра zкасательную с направляющим вектором az(q). и

то К. д. Q(z)dz² наз. положительным и пишут Q(z)dz²>0 на кривой у. Если в (2) вместо знака > имеет место знак <, то К. д. Q(z)dz² отрицателен (Q(z)dz²<0) на кривой у. Всякая максимальная на Rрегулярная кривая, на к-рой Q(z)dz²>0 (либо Q(z)dz²<0), наз. траекторией дифференциала Q(z)dz² (соответственно ортогональной траекторией).

К. д. Q(z)dz², определенный на конечной римановой поверхности Л, принадлежит R, если край дR поверхности Rлибо пуст, либо состоит из конечного числа точек и дуг у, на каждой из к-рых дифференциал Q(z)dz² регулярен и положителен пли отрицателен. Если к тому же край dR пуст или если дифференциал Q(z)dz² на dR регулярен и положителен, то Q(z)dz² наз. положительным К. д. на R. Метрика называемая Q-м етрикой, однозначна на й и инвариантна относительно выбора локального параметра z.

В нек-рой окрестности Uлюбой точки функция регулярна, однозначна и однолистна при каждом выборе знака подинтегрального выражения, причем всякая максимальная дуга траектории (или ортогональной траектории) из Uпри отображении Z(д)переходит в горизонтальный (соответственно вертикальный) прямолинейный интервал. Поэтому через каждую точку проходит траектория, являющаяся либо открытой дугой, либо жордановой кривой на R. Топологическая и конформная структуры семейства траекторий в малой окрестности всякой критпч. точки rполиостью классифицированы в зависимости от порядка критич. точки rи (если rполюс 2-го порядка и z(r) = 0) от (см. Локальная структура траекторий). Описание глобальной структуры траекторий известно для конечных римановых поверхностей п имеет много важных приложений (см. также [1]).

О. Тайхмюллер (О. Teichmiiller) исследовал роль понятия К. д. для теории экстремальных конформных и квазиконформных отображений и для решения проблемы модулей римановых поверхностей (см. [1] [3]). Он сформулировал принцип, согласно к-рому экстремальным задачам геометрич. теории функций ставятся в соответствие нек-рые К. д., причем каждому типу экстремальных задач соответствуют определенные особенности (полюсы) К. д., а геометрич. свойства решения связаны надлежащим образом со структурой траекторий К. д. В терминах К. д. доказаны неравенства для коэффициентов однолистных функций. Общее неравенство для коэффициентов, однолистных функций в семействах областей, расположенных на конечной римановой поверхности, носит название рбщей теоремы о коэффициентах и является конкретным воплощением принципа Тайхмюллера для широкого класса задач (см. [1], [4]). Принцип Тайхмюллера позволил также установить специальную теорему о коэффициентах и решить большое число конкретных экстремальных задач (см. [1], [5]).

Лит.:[1] Дженкинс Дж., Однолистные функции и конформные отображения, пер. с англ., М., 1962; [2] Шиффер М., Спенсер Д. К., Функционалы на конечных римановых поверхностях, пер. с англ., М., 1957; [3] Альфорс Л., Берс Л., Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения, пер. с англ., М., 1961; [4] Тамразов П. М., "Матем. сб.", 1967, т. 72, № 1, с. 59-71; [5] Jenkins J. A., "III. J.Math.", 1964, v. 8, № 1, p. 80 99.

П. М. Тамразов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985