Математическая энциклопедия - квадратурная формула

приближенная формула для вычисления определенного интеграла:

в левой части стоит интеграл, подлежащий вычислению. Подинтегральная функция записана в виде произведения двух функций. Первая из них р(х)считается фиксированной для данной К. ф. и наз. весовой функцией, функция f(x)принадлежит достаточно широкому классу функций, напр, непрерывных и таких, что интеграл в левой части (1) существует. Сумма в правой части (1) наз. квадратурной суммой, числа xj наз. узлами К. ф., а числа С j коэффициентами К. ф. Нахождение приближенного значения интеграла с помощью формулы (1) сводится к вычислению квадратурной суммы; при этом значения узлов и коэффициентов обычно берутся из таблиц (см., напр.. [3]).

Наибольшее распространение получили К. ф., основанные на алгебраическом интерполировании. Пусть х 1,. .., xNпопарно различные точки (обычно xi[a,b], хотя это требование не является обязательным) и Р(х)интерполяционный многочлен функции f(x), построенный по ее значениям в этих точках:

здесь Li(x)многочлен влияния i-го узла: Li(xj) =dij(dij символ Кронекера). Интеграл по [а, 6] от p(x)f(x)приближенно заменяется интегралом от р(х) Р{х);получается приближенное равенство вида (1), в к-ром

Существование интегралов в (2) равносильно существованию моментов весовой функции

(здесь и далее предполагается, что требуемые моменты р(х)существуют, в частности в случае р(х)=1 промежуток [ а, b]считается конечным).

К. ф. (1), коэффициенты к-рой определяются равенствами (2), наз. интерполяционной. Целое число наз. алгебраической степенью точности К. ф. (1), если эта формула точна, когда f(x)любой многочлен степени выше d, и не точна для f(x)=x^d+1. Чтобы К. ф. (1) была интерполяционной, необходимо и достаточно, чтобы для ее алгебраич. степени точности dвыполнялось неравенство

Пусть р(х)=1 и [a, b]конечен. Интерполяционная К. ф. с равноотстоящими узлами

где n натуральное число, N=n+l, наз. Ньютона Котеса квадратурной формулой;такая К. ф. имеет алгебраич. степень точности d=n при пнечетном и d=n+1 при пчетном. Интерполяционная К. ф. с одним узлом

наз. прямоугольников формулой, ее алгебраич. степень точности d=l, когда x=(a+b)/2, и d = 0 в остальных случаях. Пусть

Интерполяционная К. ф. (1), у к-рой узлами являются корни ортогонального на [ а, b]с весом р(х)многочлена степени N, наз. квадратурной формулой гауссова типа; ее называют также квадратурной формулой наивысшей алгебраич. степени точности, так как при условиях (4) никакая К. ф. с Nузлами не может быть точна для x^2N. Наиболее употребительны К. ф. гауссова типа, к-рые определяются следующими частными случаями веса р(х) и промежутка [a, b]:

вес Якоби (1-x)^a(1+х)^b (a>-1, b>-1), [-1, 1] при значениях параметров: а) a=b=0 (Гаусса квадратурная формула), б)( Мелера квадратурная формула), в) a=b=, г)

вес Эрмита е ^-x2(' );

вес Лагерра х ^a е ^-x(a>-1), ().

Существуют К. ф., в к-рых часть узлов заранее фиксирована, а остальные узлы выбираются так, чтобы К. ф. имела наивысшую алгебраич. степень точности. Таковы, в частности, Лобатто квадратурная формула и Радо квадратурная формула для вычисления интеграла по [ 1, 1] с весом 1. В первой из них фиксированными узлами являются -1, 1, а во второй одна из этих точек.

Две К. ф. с весом 1

наз. подобными, если tj-c=s(tj-g),Cj=sГ j, j=1, 2, ..., т, где s определяется равенством d-c'=s(d-g). В случае конечного [a, b]

где х i определяются равенствами (3). Если для вычисления интегралов по промежуткам [х;, х i+1]применяются К. ф., подобные одной и той же К. ф., то равенст-

{5) приведет к составной К. ф. для вычисления интеграла, стоящего в левой его части. Такова, напр., составная К. ф. прямоугольников:

В случае b-a=2p эта К. ф. точна для cos kx,sin kx при k = 0,1, . . ., n-1.